Решение уравнений и систем уравнений

Цель. Научиться решать квадратные уравнения, уравнения с одной производной, а также системы нелинейных уравнений, используя возможности программы MathCAD.

ХОД РАБОТЫ

1. Решение квадратного уравнения.

Программа MathCAD позволяет находить корни многочлена второй степени Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

Введем коэффициенты а: = 1, b:= –2, с:= –8.

И определим функцию

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru

Переменной Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru присваиваем значение

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru – транспонированная матрица.

Переменной Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru присвоим значение функции Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

Получаем корни: Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

2. Решение уравнения с одной неизвестной.

Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х.
f(x) = 0, например, sin(x) = 0.

Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному.

- root(f(х), х);

- root(f(х), х, а, b);

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru

Рис. 2. Решение уравнения

с одной неизвестной в среде MathCAD

Обратите внимание, что хотя уравнение имеет бесконечное количество корней, MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, х0, лежащий наиболее близко к х = 0,5. Если задать другое начальное значение, то решением будет другой корень уравнения. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который называется методом секущих.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а, b], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нужно. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента):

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [а, b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно какой именно;

- значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Иногда алгоритм поиска корня натыкается на локальный минимум функции, при этом появляется сообщение «отсутствие сходимости», в таком случае следует попробовать другое начальное решение.

Для поиска комплексных корней следует задавать комплексное начальное приближение: x: = 1i или 1j.

3. Решение систем линейного уравнения.

Системы линейных уравнений решаются матричным способом (см. лабораторную работу № 2).

Решите следующую систему:

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru

Вектор искомых решений:

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

4. Решение систем нелинейных уравнений.

Используя блок решения уравнений, MathCAD находит решение системы n нелинейных уравнений с n неизвестными.

Зададим начальные приближения для всех неизвестных:

х: = 1 у: = 1 z: = 0.

Вводим уравнения в блок решения уравнений:

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru

Рис. 3. Фрагмент решения в MathCAD

Найденное решение:

Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru .

5. Выполните индивидуальное задание.

6. Показать результат преподавателю.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание для всех вариантов.

1. Решить систему линейных уравнений матричным способом.

x1 + 5x2 + x3 = V + 12

3x1 – x2 + x3=V – 1

Vx1 + 3x2 + (V+4)x3 = V(V+2) – 6

Здесь V – номер компьютера.

2. Решить уравнение с одной неизвестной.

Таблица 1

1. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
2. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 1
3. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
4. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
5. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
6. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 1
7. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 1
8. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
9. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
10. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 1
11. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0
12. Решение уравнений и систем уравнений - student2.ru Начальное приближение 0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.

Наши рекомендации