Оптимальная компоновка гидропривода стрелы манипу­лятора

Компоновка гидропривода стрелы манипулятора предполагает определение положения точек сочленения гидроцилиндра с колонной и со стрелой. Обозначим оси шарниров этих точек соответственно О₁ и О₂ (см. рис. 2.7).

Положение шарниров исчерпывающим образом определяется заданием четырех величин: a, b, c, d. Эти величины должны быть выбра­ны исходя из требований (условий) компоновки. Примем в качестве условия оптимальности максимальное использование рабочего хода штока гидроцилиндра при перемещении стрелы из одного крайнего по­ложения в другое. Такая задача проста с точки зрения ееформали­зации и в то же время не лишена здравого смысла, так как всегда следует стремиться максимально использовать потенциальные возмож­ности. При этом условие оптимальности записывается в виде логичес­кого равенства

(2.17)

где – максимальная длина гидроцилиндра со штоком;

– минимальная длина гидроцилиндра;

– рабочий ход штока, реализуемый в данной кинематической схеме.

Условие (2.17) означает, что ход штока реализуется полностью, т.е. разность между возможным итребуемым ходом равна нулю.

Функциональное равенство (2.17) можно записать в виде следую­щих равенств:

(2.18)

Для того чтобы практически воспользоваться условиями оптимальности (2.18), необходимо записать эти условия в виде функции вы­бираемых параметров a, b, c, d.

Как получить явную зависимость между параметрами цилиндра , и параметрами подвески a, b, c, d?

Ответ на этот вопрос сводится к способу определения длины отрезка между двумя точками эвклидова пространства.

Определим координаты шарниров О₁ и О₂ в двух крайних по­ложениях стрелы в системе координат O₁X₁Z₁ (рис. 2.7):

(2.19)

Для длины отрезков О₁О₂ в двух крайних положениях определяются в принятой системе координат следующим образом:

(2.20)

Возвращаясь к условиям (2), получаем следующие функциональ­ные зависимости:

(2.21)

Два уравнения (2.21) содержат четыре неизвестные величины, подлежащие определению (a, b, c, d).

Для устранения неопределенности необходимо присоединить к уравнениям (2.21) какие-нибудь две связи, налагаемые на неизвест­ные.

Наиболее естественно задаться величинами a, d , определяющими положение шарниров относительно осей манипулятора и ко­лонны. Желательно, чтобы оси шарниров располагались по возможнос­ти ближе к этим осям. Это следует из того обстоятельства, что шар­ниры должны размещаться вне контуров стрелы и колонны, причем чемближе будет шарнир к соответствующим поверхностям, тем меньше будет металлоемкость проушин и меньше скачки изгибающих моментов в сечениях стрелы и колонны.

Напомним, что скачок изгибающего момента равен произведению составляющей усилие на штоке гидроцилиндра вдоль продольной оси на расстояние точки шарнира от этой оси.

Задавшись (2.22)

и присоединив равенства (2.22) к уравнениям (2.21), получаем замкнутую систему уравнений.

При этом возникает следующая проблема вычислительного характера. Если возвести левые и правые части уравнений (2.21) в квад­рат, то получим систему двух квадратных уравнений, которые должны решаться совместно.

Покажем, как можно построить более оригинальную вычислитель­ную процедуру. Зададимся величиной "с" и решим квадратное урав­нение относительно "а"

(2.23)

Подставим найденные значения во второе уравнение (2.21) и получим невязку

(2.24)

При этом поиск решения сводится к вычислению функций (с) и минимизации невязки на нуль

(2.25)

Искомое решение можно получить играфически. Для этого зада­димся рядом значений "с"(три-четыре точки) и для каждого из них сначала находим из квадратного уравнения величину " ", а затем значение невязки . Построив графики (рис. 2.8), при = 0 найдем "с_опт.", а по "с_опт." найдем "а_опт.".

Подчеркнем еще раз, что найденное решение получено из усло­вия максимального использования хода штока (при фиксированных шар­нирах решение дает самый короткий гидроцилиндр).

Рассмотрим теперь более сложную задачу. Полагаем, что вели­чины b и d могут выбираться в некоторых ограниченных областях их определения В и Д, а величины а и с по-прежнему неограниченны и определяются в соответствии с уравнениями (2.21).

Наличие принципиальной возможности выбора величин b и d необходимо подкрепить соответствующей математической зависимостью. Для этого выберем в качестве критерия оптимальности усилие на што­ке гидроцилиндра, представляющего собой функцию

(2.26)

При некотором угле усилие на штоке гидроцилиндра достигает наибольшего значения. Искомые параметры подвески гидроцилиндра а, b, c, d должны быть выбраны так, чтобы максимальное значение требуемого усилия было бы минимальным, что может быть записано в виде следующей логической схемы:

(2.27)

Построим в соответствии с логической схемой (2.27) алгоритм поиска оптимального решения.

Для данного класса манипулятора известен расчетный момент (грузовой момент) на максимальном вылете, зная который, легко най­ти момент, передаваемый через усилие на штоке гидроцилиндра:

(2.28)

Но момент для каждого угла есть величина переменная. При из­менении изменяется и плечо . Поэтому в общем случае имеем зависимость

(2.29)

Пересчет внешнего момента в зависимости от угла затруднений не вызывает.

Остановимся на определении плеча в функции угла .

Для определения плеча обратимся к треугольнику ОО₁О₂, стороны ОО₁ и ОО₂ которого суть векторные величины .

Удвоенная площадь этого одной стороны равна , а с другой – модулю векторного произведения . В свою очередь модуль векторного произведения равен определителю:

(2.30)

а расстояние О₁О₂ с координатами шарниров связано зависимостью

О₁О₂ (2.31)

Тогда из условия

получаем искомую функцию координат

(2.32)

Подставляя вместо координат x₂, z₂ их выражения

, (2.33)

получим явную функцию плеча от угла .

В итоге приходим к логической схеме

(2.34)

Процедура, соответствующая логической схеме (2.34), может быть представлена в следующем виде. Задаемся b и d в своих областях их определения ирешаем ранее изложенную задачу (отыс­киваем а и с). Для этого варианта подвески вычисляем отношение и находим его максимум.

Затем задаемся другой парой чисел b и d, вычисляем a, с и для нее находим свой максимум .

И так поступаем до тех пор, пока параметры b и d не примут граничных значений. Остается из всех вариантов отобрать тот, для которого максимум имеет наименьшее значение. Это и будет оптимальным решением, а параметры a, b, c, d – оптимальными параметрами.

Естественно, что указанная вычислительная процедура может быть реализована на ЭВМ (велик объем вычислений). Решение задачи можно упростить, если предполагать как гипотезу, что максималь­ное усилие наштоке гидроцилиндра имеет место на максимальном вылете манипулятора. В этом случае отпадает надобность в построении функции , а достаточно максимизировать плечо на максимальном вылете манипулятора.

Логическая схема вычислений принимает следующий простой вид:

(2.35)

где ;

В данном случае реализуется алгоритм, изложенный при решении первой задачи. Отличие состоит лишь в том, что сравниваются между собой несколько вариантов, отличающихся значениями b и d в их областях определения.

Вопросы для уяснения основных положений:

1. Дать физическую трактовку существования оптимальной подвески гидроцилиндра управления стрелой манипулятора.

2. В каких случаях математически существует проблема выбора оптимального решения?

3. Какие из приведенных выше уравнений выполняют роль урав­нений связей, уравнения ограничений и критерия оптимальности?

4. Как получитьвычислительную процедуру поиска оптималь­ных параметров подвески гидроцилиндра с помощью невязки?

5. Как обосновать гипотезу о том, что на максимальном вы­лете будет иметь место максимальное усилие на штоке гидроцилинд­ра?