Физические приложения производной

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией Физические приложения производной - student2.ru , то мгновенная скорость движения в момент времени Физические приложения производной - student2.ru есть производная от пути S по времени t:

Физические приложения производной - student2.ru (11)

2. Если функцией Физические приложения производной - student2.ru описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени Физические приложения производной - student2.ru есть производная от скорости Физические приложения производной - student2.ru по времени t:

Физические приложения производной - student2.ru (12)

3. Если Физические приложения производной - student2.ru – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоёмкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

Физические приложения производной - student2.ru

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке Физические приложения производной - student2.ru есть производная от массы m по длине l:

Физические приложения производной - student2.ru

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока Физические приложения производной - student2.ru по времени Физические приложения производной - student2.ru

Физические приложения производной - student2.ru

6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени Физические приложения производной - student2.ru равна производной заряда Физические приложения производной - student2.ru по времени Физические приложения производной - student2.ru :

Физические приложения производной - student2.ru

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведённой к графику функции Физические приложения производной - student2.ru в точке с абсциссой x = 2.

Решение.Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (9). Сначала найдём ординату точки касания Физические приложения производной - student2.ru . Для этого значение Физические приложения производной - student2.ru подставим в уравнение функции:

Физические приложения производной - student2.ru

Для нахождения углового коэффициента найдём производную Физические приложения производной - student2.ru , используя формулу дифференцирования дроби:

Физические приложения производной - student2.ru

Найдём значение производной при Физические приложения производной - student2.ru :

Физические приложения производной - student2.ru

Подставляем найденные значения в формулу (9), получаем уравнение касательной:

Физические приложения производной - student2.ru , т.е. Физические приложения производной - student2.ru

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (10):

Физические приложения производной - student2.ru

Получим, что уравнение нормали , проведенной к заданной кривой в заданной точке имеет вид Физические приложения производной - student2.ru

Пример 2. Определить, в какой точке кривой Физические приложения производной - student2.ru касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°.

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдём производную функции:

Физические приложения производной - student2.ru .

По условию Физические приложения производной - student2.ru Значит, Физические приложения производной - student2.ru .

Отсюда

Физические приложения производной - student2.ru , Физические приложения производной - student2.ru , Физические приложения производной - student2.ru .

Получили два значения абсциссы точки касания:

Физические приложения производной - student2.ru , Физические приложения производной - student2.ru ,

т.е. существует две точки касания, в которых касательная образует угол Физические приложения производной - student2.ru с осью Физические приложения производной - student2.ru .

Найдём соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения Физические приложения производной - student2.ru в формулу функции:

Физические приложения производной - student2.ru

Физические приложения производной - student2.ru

Приходим к ответу: в точках Физические приложения производной - student2.ru и Физические приложения производной - student2.ru касательная к заданной кривой образует с осью Физические приложения производной - student2.ru угол Физические приложения производной - student2.ru

Пример 3. Найти острый угол между параболами Физические приложения производной - student2.ru и Физические приложения производной - student2.ru в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения - это угол между касательными к этим кривым, проведёнными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле:

Физические приложения производной - student2.ru (13)

где Физические приложения производной - student2.ru и Физические приложения производной - student2.ru -угловые коэффициенты заданных парабол.

Найдём точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:

Физические приложения производной - student2.ru

Отсюда Физические приложения производной - student2.ru Условие задачи удовлетворяет точка Физические приложения производной - student2.ru Найдём коэффициент Физические приложения производной - student2.ru

Физические приложения производной - student2.ru Аналогично найдём Физические приложения производной - student2.ru :

Физические приложения производной - student2.ru

Воспользуемся формулой и получим:

Физические приложения производной - student2.ru ,

откуда Физические приложения производной - student2.ru

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону Физические приложения производной - student2.ru Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (11) скорость есть производная пути, а, согласно формуле (12), ускорение есть производная от скорости.

Последовательно вычислим производные:

Физические приложения производной - student2.ru

Найдём момент времени, когда ускорение равно нулю:

Физические приложения производной - student2.ru

Вычислим скорость движения тела в момент времени Физические приложения производной - student2.ru

Физические приложения производной - student2.ru

Наши рекомендации