Векторное произведение двух векторов

его свойства и применение*

Векторным произведениемвекторов Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru (рис. 10) называется вектор Векторное произведение двух векторов - student2.ru , удовлетворяющий следующим условиям:

Векторное произведение двух векторов - student2.ru 1) модуль вектора Векторное произведение двух векторов - student2.ru равен Векторное произведение двух векторов - student2.ru , где Векторное произведение двух векторов - student2.ru – угол между векторами Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru , т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru , как на сторонах;

2) вектор Векторное произведение двух векторов - student2.ru ортогонален векторам Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru ;

3)векторы Векторное произведение двух векторов - student2.ru , Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru в указанном порядкеобразуют правую тройку векторов, т.е. если смотреть на векторы Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru с конечной точки вектора Векторное произведение двух векторов - student2.ru , то кратчайший поворот от Векторное произведение двух векторов - student2.ru к Векторное произведение двух векторов - student2.ru будет осуществляться против часовой стрелки.

Обозначается векторное произведение как Векторное произведение двух векторов - student2.ru ,или Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Векторное произведение векторов обладает следующими свой­ствами:

1. Векторное произведение двух векторов - student2.ru ;

2. Векторное произведение двух векторов - student2.ru , если Векторное произведение двух векторов - student2.ru или Векторное произведение двух векторов - student2.ru = Векторное произведение двух векторов - student2.ru , или Векторное произведение двух векторов - student2.ru = Векторное произведение двух векторов - student2.ru ;

3. (l Векторное произведение двух векторов - student2.ruВекторное произведение двух векторов - student2.ru = Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´(l Векторное произведение двух векторов - student2.ru )=l( Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´ Векторное произведение двух векторов - student2.ru );

4. Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´( Векторное произведение двух векторов - student2.ru + Векторное произведение двух векторов - student2.ru ) = Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´ Векторное произведение двух векторов - student2.ru + Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´ Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

В частности, векторное произведение единичных векторов Векторное произведение двух векторов - student2.ru , образующих прямоугольный базис, определяется по следующей схеме (рис. 11):векторное произведение совпадающих сомножителей равно нулю; векторное произведение несовпадающих сомножителей равно третьему не задействованному в произведении орту, взятому с положительным знаком, если направление кратчайшего поворота от первого сомножителя до второго совпадает с направлением часовой стрелки, и со знаком минус в противном случае.

Векторное произведение двух векторов - student2.ru

´ Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru
Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru
Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru
Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru

В координатной форме векторное произведение векторов Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru равно:

Векторное произведение двух векторов - student2.ru ´ Векторное произведение двух векторов - student2.ru = Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Применение векторного произведения векторов.

1.Проверка векторов на коллинеарность. Если Векторное произведение двух векторов - student2.ru , то Векторное произведение двух векторов - student2.ru и наоборот.

Пример 1.Проверить векторы Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru на коллинеарность.

Решение.Запишем векторы в координатной форме Векторное произведение двух векторов - student2.ru (2; 5; 1), Векторное произведение двух векторов - student2.ru (1; 2;–3)и найдем их векторное произведение:

Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Так как Векторное произведение двух векторов - student2.ru , то эти векторы не коллинеарны.

2. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника. Согласно определению векторного произведения векторов Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru модуль этого произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru , как на сторонах, т.е.

Векторное произведение двух векторов - student2.ru ,

а значит площадь соответствующего треугольника будет равна

Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Пример 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение двух векторов - student2.ru , если Векторное произведение двух векторов - student2.ru

Решение. Площадь параллелограмма определяется по формуле

Векторное произведение двух векторов - student2.ru . Найдем Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Тогда Векторное произведение двух векторов - student2.ru (ед.2).

Пример 3. Вычислить площадь треугольника с вершинамиА(2;2;2), В(4; 0; 3),С(0; 1; 0).

Решение.Найдем координаты векторов Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru :

Векторное произведение двух векторов - student2.ru или Векторное произведение двух векторов - student2.ru

Векторное произведение двух векторов - student2.ru или Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Тогда Векторное произведение двух векторов - student2.ru

Векторное произведение двух векторов - student2.ru а его модуль равен Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru

Следовательно, площадь треугольника равна Векторное произведение двух векторов - student2.ru (ед.2).

3. Определение момента силы относительно точки.*Пусть в точке А приложена сила Векторное произведение двух векторов - student2.ru и пусть О – некоторая точка пространства (рис. 12).

Векторное произведение двух векторов - student2.ru

Из физики известно, что моментом силы Векторное произведение двух векторов - student2.ru относительно точки О называется вектор Векторное произведение двух векторов - student2.ru , который проходит через точку О и удовлетворяет следующим условиям:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо:

Векторное произведение двух векторов - student2.ru ;

3) образует правую тройку векторов с векторами Векторное произведение двух векторов - student2.ru и Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Из вышесказанного можно сделать вывод, что

Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Пример 4.Найти величину момента силы Векторное произведение двух векторов - student2.ru относительно точки Векторное произведение двух векторов - student2.ru , если сила приложена к точке Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Решение.Определим координаты вектора Векторное произведение двух векторов - student2.ru , Векторное произведение двух векторов - student2.ru Момент Векторное произведение двух векторов - student2.ru силы Векторное произведение двух векторов - student2.ru относительно точки А найдем как

Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru , Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Тогда величина момента силы Векторное произведение двух векторов - student2.ru равна модулю вектора Векторное произведение двух векторов - student2.ru Векторное произведение двух векторов - student2.ru .

Литература: [3, гл.2, п. 12.12]; [4, гл. 2, §7].

Наши рекомендации