Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ( Горизонтальные асимптоты - student2.ru ) функция Горизонтальные асимптоты - student2.ru имеет конечный предел, равный числу b:

Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

то прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru есть горизонтальная асимптота графика функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Например, для функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru имеем

Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Соответственно, прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru , а прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru − для левой ветви.

В том случае, если

Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru называется наклонной асимптотой графика функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ( Горизонтальные асимптоты - student2.ru ), если выполняется равенство

Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru имел при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ( Горизонтальные асимптоты - student2.ru ) наклонную асимптоту Горизонтальные асимптоты - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Горизонтальные асимптоты - student2.ru и Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая Горизонтальные асимптоты - student2.ru наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи Горизонтальные асимптоты - student2.ru и Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

2. Если

Горизонтальные асимптоты - student2.ru и Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

то график функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru имеет горизонтальную асимптоту Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

3. Если

Горизонтальные асимптоты - student2.ru и Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

то прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru (ось Ох) является горизонтальной асимптотой графика функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при Горизонтальные асимптоты - student2.ru . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

Пример

Найти асимптоты графика функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

1) Горизонтальные асимптоты - student2.ru − точка разрыва второго рода:

Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru − вертикальная асимптота.

2) Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Прямая Горизонтальные асимптоты - student2.ru − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых Горизонтальные асимптоты - student2.ru или Горизонтальные асимптоты - student2.ru ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функцию Горизонтальные асимптоты - student2.ru и построить ее график.

1. Область определения функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

2. Функция нечетная: Горизонтальные асимптоты - student2.ru . График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: Горизонтальные асимптоты - student2.ru , точка Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

С осью Ох: Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

5. Точки Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru и Горизонтальные асимптоты - student2.ru разбивают ось Ох на четыре интервала.

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ;

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ;

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru ;

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

7. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ,

Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru − критические точки.

Горизонтальные асимптоты - student2.ru для Горизонтальные асимптоты - student2.ru «↑»,

Горизонтальные асимптоты - student2.ru для Горизонтальные асимптоты - student2.ru «↓»,

Горизонтальные асимптоты - student2.ru для Горизонтальные асимптоты - student2.ru «↑».

Сведем данные в таблицу.

х Горизонтальные асимптоты - student2.ru -1 Горизонтальные асимптоты - student2.ru Горизонтальные асимптоты - student2.ru
Горизонтальные асимптоты - student2.ru + +
Горизонтальные асимптоты - student2.ru ↑ (возрастает) mах ↓ (убывает) min -2 ↑ (возрастает)

Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru ;

точка Горизонтальные асимптоты - student2.ru − максимум;

точка Горизонтальные асимптоты - student2.ru − минимум.

8. Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru .

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru « Горизонтальные асимптоты - student2.ru »;

Горизонтальные асимптоты - student2.ru при Горизонтальные асимптоты - student2.ru « Горизонтальные асимптоты - student2.ru ».

х Горизонтальные асимптоты - student2.ru Горизонтальные асимптоты - student2.ru
Горизонтальные асимптоты - student2.ru +
Горизонтальные асимптоты - student2.ru Горизонтальные асимптоты - student2.ru (выпуклый) (точка перегиба) Горизонтальные асимптоты - student2.ru (вогнутый)

Точка Горизонтальные асимптоты - student2.ru − точка перегиба.

9. График функции Горизонтальные асимптоты - student2.ru (рис.5.12)

 
  Горизонтальные асимптоты - student2.ru

Рис. 5.12

Упражнения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − убывает; Горизонтальные асимптоты - student2.ru − возрастает.
2. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − убывает; Горизонтальные асимптоты - student2.ru − возрастает.
3. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − убывает; Горизонтальные асимптоты - student2.ru − возрастает.
4. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − возрастает; Горизонтальные асимптоты - student2.ru − убывает.

Найти экстремумы функций:

5. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: нет экстремума.
6. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru минимум, Горизонтальные асимптоты - student2.ru максимум.
7. Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru максимум, Горизонтальные асимптоты - student2.ru минимум.  

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:

8. Горизонтальные асимптоты - student2.ru на Горизонтальные асимптоты - student2.ru ; Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru наибольшее, Горизонтальные асимптоты - student2.ru наименьшее.
9. Горизонтальные асимптоты - student2.ru на Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru наименьшее, Горизонтальные асимптоты - student2.ru наибольшее.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

10. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − выпуклость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − вогнутость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − точка перегиба.
11. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − вогнутость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − выпуклость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − вогнутость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru − точки перегиба.

12. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru − выпуклость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − вогнутость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru − выпуклость, Горизонтальные асимптоты - student2.ru , Горизонтальные асимптоты - student2.ru − точки перегиба.

Найти асимптоты кривых:

13. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru вертикальная; Горизонтальные асимптоты - student2.ru горизонтальная.
14. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru вертикальная; Горизонтальные асимптоты - student2.ru наклонная.
15. Горизонтальные асимптоты - student2.ru Ответ: Горизонтальные асимптоты - student2.ru горизонтальная.  

Исследовать функции и построить их графики:

16. Горизонтальные асимптоты - student2.ru  
17. Горизонтальные асимптоты - student2.ru  
18. Горизонтальные асимптоты - student2.ru  

Наши рекомендации