Проекции прямых линий частного положения

Прямые частного положения параллельны или перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

Прямые параллельные одной плоскости проекций называются прямыми уровня.

Прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций, т.е. параллельны двум другим, называются проецирующими прямыми.

Рассмотрим прямые уровня.

1. Прямые параллельные плоскости p1 называются горизонталями (рис. 3.3).

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.3. Горизонталь.

Все точки горизонтали одинаково удалены от плоскости p1, т.е. zA = zB = const. На эпюре A2B2 || x12 – фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х, A3B3 || y12 – профильная проекция горизонтали параллельна оси у.

На плоскость p1 горизонталь проецируется без искажения, т.е. горизонтальная проекция горизонтали A1B1 является натуральной величиной. Углы наклона горизонтали к плоскостям p2 и p3 проецируются без искажения (Ða и Ðb).

2. Прямые параллельные плоскости p2 называются фронталями (рис. 3.4).

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.4. Фронталь.

Все точки фронтали одинаково удалены от плоскости p2, т.е. уA = уB = const. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х12 (A1B1 || x12), профильная параллельна оси z (A3B3 || z23). На плоскость p2 фронталь проецируется без искажения, т.е. фронтальная проекция фронтали A2B2 является натуральной величиной, углы наклона фронтали к плоскостям p1 и p3 проецируются без искажения (Ðj и Ðb).

3. Прямые параллельные плоскости p3 называются профильными (рис. 3.5).

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.5. Профильная прямая.

Все точки профильной прямой одинаково удалены от плоскости p3, т.е. хA = хB = const. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси х12 (или параллельны соответственно осям у и z).

На плоскость p3 профильная проекция проецируется без искажения, т.е. профильная проекция профильной прямой A3B3 является натуральной величиной. Углы наклона прямой AB к плоскостям p1 и p2 проецируются без искажения (Ðj и Ða).

Таким образом, прямые линии уровня проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которая прямая параллельна.

Рассмотрим проецирующие прямые (рис. 3.6 - 3.8).

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.6. Горизонтально проецирующая прямая.

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.7. Фронтально проецирующая прямая.

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.8. Профильно проецирующая прямая.

Для проецирующих прямых характерно, что проекция прямой на ту плоскость, которой прямая перпендикулярна, обращается в точку. Две другие проекции проецирующих прямых перпендикулярны осям. Проецирующие прямые называются горизонтально проецирующая (^ p1), рис. 3.6; фронтально проецирующая (^ p2), рис. 3.7; профильно проецирующая (^ p3), рис. 3.8.

3.3 Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона.
к плоскостям проекций
(способ прямоугольного треугольника)

Прямая линия общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные углы. Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций с искажениями. Рассмотрим задачу на определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

В пространстве отрезок АВ прямой общего положения отнесенный к двум плоскостям проекций представляет собой гипотезу двух прямоугольных треугольников АВС и АВD (рис. 3.9а).

Одним катетом треугольников является одна из проекций отрезка, другим разность недостающих координат. Угол между гипотенузой (отрезком АВ) и катетом (проекцией) есть угол наклона прямой к соответствующей плоскости проекций.

В треугольнике АВС катет АС = А1В1, катет ВС = rzAB, Ða – угол наклона отрезка АВ к плоскости p1. rzAB = (zA - zB) – разность координат точек А и В до плоскости p1.

В треугольнике АВD катет BD = А2В2, катет AD = ryAB, Ðb – угол наклона отрезка АВ к плоскости p2. ryAB = (yA - yB) – разность координат точек А и В до плоскости p2. На эпюре (рис. 3.9б) легко построить треугольники равные рассмотренным.

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
Рис. 3.9а. Отрезок в пространстве.

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
рис3.9б. Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

Например, к проекции А1В1, как к катету прямоугольного треугольника, достраиваем от любой из точек (в нашем случае В1), второй катет, равный разности недостающих координат точек отрезка В1В0 = rzAB. Разность координат z точек А и В измеряется на фронтальной проекции. Гипотенуза А1В0 прямоугольного треугольника А1В1В0 является натуральной величиной отрезка АВ, а угол a между проекцией и гипотенузой – это угол наклона отрезка прямой к плоскости p1.

Аналогичные построения выполним на фронтальной проекции для определения угла наклона к плоскости p2.

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой. Рассмотрим прямую а общего положения и построим ее следы (рис. 3.10).

Горизонтальный след прямой – это точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций p1. Горизонтальный след обозначается М (М1, М2, М3).

Фронтальный след прямой – это точка ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций p2. Фронтальный след обозначается N (N1, N2, N3).

Профильный след прямой – это точка ее пересечения с профильной плоскостью проекций p3. Профильный след обозначается Р (Р1, Р2, Р3).

Следы прямой – это точки частного положения, принадлежащие какой-либо плоскости проекций. Одна из координат = 0.

M Ì p1 => zM = 0 M2 º x12 M1 º M
N Ì p2 => yN = 0 N1 º x12 N2 º N
P Ì p3 => xP = 0 PX º y P º P

Проекции прямых линий частного положения - student2.ru
рис 3.10. Следы прямой.

Из этого следуют правила построения следов:

1. Для построения проекций горизонтального следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется проекция М2) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (определяется проекция М1 º М).

2. Для построения проекций фронтального следа необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется точка N1) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с фронтальной проекцией прямой (определяется точка N2 º N).

3. Для построения проекций профильного следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью z (определяется точка Р2) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси z до пересечения с профильной проекцией прямой (определяется точка P3 º P). Горизонтальная проекция Р1 определяется пересечением горизонтальной проекции прямой с осью у.

Наши рекомендации