Формула Пуассона. Простейший поток событий

Пусть в эксперименте проводятся повторные испытания по схеме Бернулли и число испытаний Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru велико Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , вероятность Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru появления наблюдаемого события Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru в одном испытании мала Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , а параметр Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru является постоянной величиной. Тогда для вероятности Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru — вероятности того, что событие Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru в Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru испытаниях появится Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru раз, справедливо соотношение

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru . (3.1)

При вычислении вероятности Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru в таком случайном эксперименте можно использовать приближенную формулу

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , (3.2)

которая называется формулой Пуассона, а число Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru — параметром Пуассона.

Задача 3.1. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,008. Найти вероятность того, что при контроле среди 500 изделий будет не более двух бракованных.

Решение: поскольку вероятность Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru мала, а число испытаний Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru велико, то можно применить формулу Пуассона с параметром Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru . Искомая вероятность является вероятностью суммы трех событий: бракованных изделий оказалось два, одно или ни одного. Поэтому

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Определение 3.1

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Например,потоком событий будут вызовы, поступающие на АТС, сигналы при сеансе радиосвязи, сообщения, поступающие на сервер, и.т.д.

Определение 3.2

Поток событий называется пуассоновским (простейшим) если он обладает следующими свойствами:

1. Свойством стационарности, т.е. интенсивность потока Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru — постоянная.

2. Свойством ординарности, т.е. появление двух или более событий за малый промежуток практически невозможно.

3. Свойством отсутствия последействия, т.е. вероятность появления Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru событий за промежуток времени Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом участке.

Если обозначить Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru — вероятность появления Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru событий пуассоновского потока c интенсивностью Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru за время Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , то справедлива формула:

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru . (3.3)

Задача 3.2. Страховая компания обслуживает 10000 клиентов. Вероятность того, что в течение одного дня клиент обратится в компанию, равна 0,0003. Какова вероятность того, что в течение двух дней в нее обратятся 4 клиента?

Решение: Интенсивность Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru потока клиентов в течение одного дня равна

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , а Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Следовательно, Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Решение задач 3.1 и 3.2 в среде Mathcadпоказано на рис. 3.

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru

Рис. 3

Задача 3.3. Вероятность сбоя считывающего устройства турникета метрополитена в течение часа мала. Найти эту вероятность, если вероятность того, что за 8 часов будет хотя бы один сбой, равна 0,98, и если известно, что за час через турникет проходит в среднем 1000 человек?

Решение: По формулам (1.3) и (3.3) при Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru вероятность Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru того, что в течение 8 часов будет хотя бы один сбой, равна:

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Тогда Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru , Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru и Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Обозначим искомую вероятность через Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru и учтем, что Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru . Поэтому Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru

Рис. 4

Решение задачи 3.3 в среде Mathcadпоказано на рис. 4.

Здесь описана через оператор присваивания формула потока Пуассона, а затем с помощью этой функции получено значение потока при заданных Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru и Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru в виде функции от его интенсивности Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Далее используется формула Бернулли (1.3) для вероятности того, что за 8 часов будет хотя бы один сбой, которая приравнивается 0,98. Полученное уравнение решается относительно параметра Пуассона Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru с помощью символьных команд, а затем определяется искомая вероятность Формула Пуассона. Простейший поток событий - student2.ru .

Наши рекомендации