Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения используется формула
. (1.4)
Среднее квадратическое отклонение результата измерения является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.
1.3.1.5 Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению
Чтобы установить, принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.
В случае проверки принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению предпочтительным при числе результатов является один из критериев Пирсона или Мизеса-Смирнова. В работе используется критерий Пирсона.
При числе результатов наблюдений производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.
При гипотеза о принадлежности результатов к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов наблюдений используется распределение Стьюдента.
Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.
Построение гистограммы включает в себя следующие этапы:
а) исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания где ;
б) вычисляется диапазон изменения значений результатов наблюдений
;
в) весь этот диапазон разбивается на интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно лежит в диапазоне от 7 до 15;
г) определяется ширина интервала ;
д) определяются границы интервалов так, чтобы верхняя граница j–го интервала , а его нижняя граница совпала с верхней границей (j-1)–го интервала ;
е) для каждого j–го интервала (j=1,2, ...,r) вычисляются числа - частота попадания результата наблюдений в интервал;
ж) строится гистограмма: по оси в порядке возрастания номеров откладываются интервалы , по оси откладываются -частота попадания результатов наблюдений в j–ый интервал; таким образом на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна .
По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального закона такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.
Критерий согласия Пирсона имеет вид
, (1.5)
где величина характеризует меру отклонения результатов наблюдений от теоретически предсказанных;
- частота попадания результатов наблюдений в –ый интервал;
- теоретические значения вероятности попадания результатов в - интервал, которые вычисляются по формуле
, (1.6)
где - функция Лапласа, ; .
Таблица значений функции Лапласа для некоторых приведена в Приложении Б (таблица Б1).
После вычисления значения для заданной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы (где - количество разрядов разбиения; - число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам распределения находят критическое значение критерия согласия . В технической практике обычно задаются Р=0,95, что соответствует вероятности 0,05 совершить ошибку первого рода, т.е. опровергнуть правильную гипотезу. Значения приведены в Приложении Б (таблица Б2).
Если < , принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых получены по формулам (1.2) и (1.3). В противном случае ( ) гипотеза отвергается.
1.3.1.6 Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения
Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле
(1.7)
где - квантиль распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности Р и числа наблюдений . Значения величины при Р=0,95 и 0,99 приведены в Приложении Б (таблица Б3).
1.3.1.7 Вычисление границ неисключенной систематической погрешности результата измерения
Неисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерений и т.п. За границы составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы основных и дополнительных погрешностей средств измерений. При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематической погрешности результата измерения рассчитываются по формуле
, (1.8)
где - граница -ой неисключенной систематической погрешности;
- коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р=0,95 полагают =1,1).
1.3.1.8 Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения
Доверительная граница погрешности результата измерения устанавливается в зависимости от соотношения .
Если <0,8 , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения (формула 1.7).
Если >8, то случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения (формула 1.8).
Если 0,88, то доверительные границы погрешности результата измерения вычисляются по формуле
, (1.9)
где - коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности;
- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Коэффициент рассчитывается по формуле
. (1.10)
Оценка осуществляется по формуле
. (1.11)
1.3.1.9 Представление результата измерений
Результат измерения записывается в виде
, Р, (1.12)
где - собственно результат измерения; - доверительные границы погрешности результата измерения; Р – доверительная вероятность.
Эта форма представления результата измерений принята в качестве основной при оценке точности измерений в АСУ ТП энергетики.
При окончательном оформлении результатов измерений необходимо придерживаться следующих правил:
- значение указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 1 или 2, и одной цифрой – если первая цифра 3 и более; остальные цифры отбрасываются, и значение округляется по правилам арифметического округления;
- числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности ; остальные цифры отбрасываются, и значение округляется по правилам арифметического округления;
- округление производят только в окончательном ответе, предварительные вычисления можно делать с одним–двумя лишними знаками.
1.3.2 Варианты заданий
В соответствии с приведенной выше методикой (п.1.3.1) провести обработку ряда наблюдений.
Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении Б, таблица Б4.