Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведениемвекторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = ï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ïï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = ï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ï2;

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 0, если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ^ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 0 или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 0.

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ;

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ×( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ;

5) (m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ruПусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ×(m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ) = m( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ); m=const

Если рассматривать векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru в декартовой прямоугольной системе координат, то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = xa xb + ya yb + za zb;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ;

Пример. Найти (5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + 3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru )(2 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ), если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + 6 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ,

т.к. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Пример. Найти угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Т.е. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (1, 2, 3), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (6, 4, -2)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 6 + 8 – 6 = 8:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

cosj = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пример. Найти скалярное произведение (3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 2 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru )×(5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 6 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ), если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

15 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 18 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru - 10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + 12 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 15 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Т.е. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (3, 4, 5), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (4, 5, -3)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 12 + 20 - 15 =17 :

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

cosj = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пример. При каком m векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru перпендикулярны.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (m, 1, 0); Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (3, -3, -4)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Пример. Найти скалярное произведение векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru )( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведениемвекторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru называется вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , удовлетворяющий следующим условиям:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , где j - угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ,

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

2) вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ортогонален векторам Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru образуют правую тройку векторов.

Обозначается: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

j

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Свойства векторного произведения векторов:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ;

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ïï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 0 или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = 0;

3) (m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ruПусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´(m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ) = m( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru );

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ;

5) Если заданы векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (xa, ya, za) и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Пример. Найти векторное произведение векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (2, 5, 1); Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru = (1, 2, -3)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter. После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено векторное произведение.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (ед2).

Пример. Доказать, что векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru компланарны.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (ед2).

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru называется число, равное скалярному произведению вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru на вектор, равный векторному произведению векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Обозначается Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru или ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ).

Смешанное произведение Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , равен

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

6)Если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru , то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Объем пирамиды Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Sосн = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (ед2)

Т.к. V = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru ; Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru (ед)

Уравнение поверхности в пространстве.

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости.

Определение. Плоскостьюназывается поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - student2.ru -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Наши рекомендации