Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников - student2.ru Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA1B1C1 у которых AB=A1B1, AC=A1C1, ВС=В1С1. Докажем, что ΔABC=ΔA1B1C1

Пусть ABC и A1B1C1 – треугольники, у которых AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы вершина A совместиласьA1, а вершины B и B1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой A1В1. Возможны три случая: 1) луч С1С проходит внутри угла А1С1В1 (рис. а)); 2)луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С1С проходит вне угла А1С1В1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA1CB1 = =ÐA1С1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ÐС = ÐС1. Следовательно, треугольники ABC и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, AC=A1C1, ВС=В1С1

Третий признак равенства треугольников - student2.ru Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы A →A1, а B → B1, а С и С1 оказались по разные стороны от прямой A1В1. Рассмотрим случай. луч С1С проходит внутри ÐА1С1В1 (рис. а)).

АС=A1C1, ВС=В1С1 ═> ΔА1С1С и ΔВ1С1С — равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA1CB1=ÐA1С1B1 ═> AC=A1C1, BC=B1C1, ÐС = ÐС1 ═>

ΔABC=ΔА1В1С1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Третий признак равенства треугольников - student2.ru Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение:Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства:

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС Третий признак равенства треугольников - student2.ru DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО ) (особое свойство)

4)Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 1800 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=1800)

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3)если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС Третий признак равенства треугольников - student2.ru DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4)ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=1800

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1) Если ABСD – парал-м, и АС Третий признак равенства треугольников - student2.ru DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3)Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

Билет № 4

Наши рекомендации