Квадратные уравнения с параметрами

Рассмотрим теперь квадратное уравнение

(1)

где - неизвестная величина, - параметры (коэффициенты) уравнения.

К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего, значение При указанном значении параметра уравнение (1) принимает вид

(2)

следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2) является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее.

При другие критические значения параметров определяются дискриминантом уравнения. Известно, что при уравнение (1) корней не имеет; при оно имеет единственный корень при уравнение (1) имеет два различных корня и

1). Найти все значения параметра для которых квадратное уравнение

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения

При уравнение имеет два различных корня, т.к.

При уравнение корней не имеет, т.к. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к. при а это противоречит условию задачи.

Ответ: При уравнение имеет два различных корня.

При уравнение корней не имеет.

2).Решить уравнение . Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда

⟺

(в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением). Таким образом, значение параметра и являются его критическими значениями. Ясно, что при корнем данного уравнения является а при его корнем является

Если т.е. и то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные значения, причем он обращается в нуль при (эти значения параметра тоже являются его критическими значениями).

Поэтому, если то данное уравнение имеет единственный корень

При этом значению параметра соответствует корень

а значению соответствует корень

Если же то уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни.

Ответ. Если то если то если то

если то , .

3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем

D = а² - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 — корень уравнения х² – ах +1 = 0 при

а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен

от -3.

Ответ . а = ±2 или а = -10/3.

4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение

(а - 2)x² + (4 - 2а) х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то

Ответ, а = 5.

9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах² - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а² – 12а положительный. Отсюда получаем -4 <а<1.

Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0.Ответ. -4<а<0 или 0<а<1.

10). При каких значениях параметра а уравнение а(а +3)х² + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг — начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение ах² + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4 (1 + За) положителен при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка

(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.

Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0.

11).Решить уравнение :

Решение. Сначала заметим, что при данное уравнение равносильно уравнению которое не имеет решений. Если же то можно записать

,

⟺ ⟺

Ответ. Если то если то

. Задачи на расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра могут быть разнообразные: найти значение параметра, при котором корни положительны, отрицательны, имеют разный знак, больше или меньше какого-либо числа, принадлежат данному отрезку или когда отрезок находится между корнями трехчлена.