Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона

Решение нелинейных уравнений методом Ньютона

Для решения электроэнергетических задач существует несколько моди-фикаций метода. Они позволяют увеличить скорость сходимости итераци-онного процесса и уменьшить время расчета.

Основное достоинство метода – он обладает быстрой сходимостью.

Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации расчета исходной нелинейной системы уравнений некоторой вспомогатель-ной линейной системой уравнений, решение которой позволяет получить очередное приближение неизвестных, более близкое к искомому решению (линеаризация).

Рассмотрим нелинейное уравнение в общем виде:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (1)

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - искомое решение уравнения – точка, в которой кривая пересекает ось абсцисс.

Задаем начальное приближение неиз-вестной х(0) . Определяем значение функции в этой точке w(х(0)) и проводим касательную к кривой в точке В. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс определяет сле-дующее приближение неизвестной х(1) и т.д.

Разложим уравнение (1) в ряд Тейлора в окрестностях точки х(0). Рас-смотрим члены разложения, содержащие только 1-ю производную:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (2)

х – х(0) = Δх - поправка к неизвестной. Если определим её, то сможем определить и следующее приближение.

Из (2) определяем поправку Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (3)

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (4)

Тогда следующее приближение: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (5)

Аналогично получаем к-е приближения:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Это рекуррентная формула метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Она позволяет определять очередные приближения неизвестных.

Формулу (6) можно получить другим способом из рисунка:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Итерационный процесс сходится, если Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru уменьшается и приближается к 0. Результат достигнут, если Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

Комментарий к геометрической интерпретации

Итерационный шаг метода сводится к замене кривой Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru на прямую, ко-торая описывается левой частью уравнения (2). Она является касательной к кривой в точке Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Этот процесс называется линеаризацией. Точка пере-сечения касательной к кривой с осью х дает очередное приближение неиз-вестной Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Поэтому этот метод называется методом касательных.

Пример:

Пример:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Для того, чтобы определить этим методом все корни нелинейного урав-нения, нужно любым способом определить приблизительное расположение этих корней и задать начальные приближения в близи них.

Простой способ определения области расположения корней - табуляция.

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Итерационный процесс Ньютона не сходится, если начальные приближения выбраны так, что:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Процесс или не сходится или сходится очень плохо.

Метод Ньютона-Рафсона для решения СНАУ

Рафсон показал, что итерационный метод Ньютона, предложенный для решения одного нелинейного уравнения, можно использовать для решения систем нелинейных уравнений.

При этом, для решения систем нелинейных уравнений нужно вместо од-ной неизвестной рассматривать совокупность(вектор) неизвестных:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ,

вместо одной невязки уравнения, рассматриваем вектор невязок уравнений системы:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

Одна производная в (6) замещается матрицей производных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Операция деления в (6) замещается умножением на обратную матрицу производных. В этом случае метод Ньютона-Рафсона отличается от метода Ньютона пере-ходом от одномерной задачи к многомерной.

Рассмотрим систему действительных нелинейных алгебраических уравне-ний:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (7)

В матричном виде ее можно записать:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (8)

х1

где Х = х2 – вектор – столбец неизвестных;

....

хn

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru w11, х2, … хn)

W = w21, х2, … хn) – вектор-функция.

wn1, х2, … хn)

Пусть Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - начальные приближения неизвестных. Разложим каждое уравнение системы (7) в ряд Тейлора в окрестности точки Х(0), то есть выполним приближенную замену исходных нелинейных уравнений линей-ными, в которых сохраняется только 1-я производная (линеаризация). В ре-зультате система уравнений (7) принимает вид:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (9)

В результате получили систему линейных уравнений (линеаризованная система), в которой неизвестными являются поправки Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Коэф-фициенты при неизвестных в этой системе – первые производные от урав-нений wj исходной нелинейной системы по всем неизвестным Хi.. Они обра-зуют матрицу коэффициентов – матрицу Якоби:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru = Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Каждая строка матрицы состоит из первых производных от очередного урав-нения нелинейной системы по всем неизвестным.

Запишем линеаризованную систему (9) в матричной форме:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (10)

Здесь Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - вектор невязок уравнений исходной системы. Его эле-менты получаем при подстановке в уравнения нелинейной системы очеред-ных приближений неизвестных;

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - матрица Якоби. Ее элементами являются первые частные про-изводные от всех уравнений исходной системы по всем неизвестным;

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - вектор поправок к искомым неизвестным. На каждой итерации он может быть записан:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (11)

Систему (10) с учетом принятых обозначений можно записать:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (12)

или Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (13)

Эта система линейна относительно поправок ΔХ(к).

Система (13) - линеаризованная система уравнений, которой заменяется исходная СНАУ на каждом шаге итерационного процесса.

Система (13) решается любым известным способом, в результате находим вектор поправок Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Затем из (11) можем найти очередные приближения неизвестных:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (14)

Т.о. каждый шаг итерационного процесса состоит в решении линейной сис-темы (13) и определении очередного приближения из (14).

Из (11) и (12) можно получить общую рекуррентную формулу (в матричном виде), соответствующую методу Ньютона–Рафсона:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (15)

Она имеет структуру, соответствующую формуле (6).

Формула (15) в практических расчетах используется редко, так как здесь нужно обращать матрицу Якоби (большой размерности) на каждой итерации расчетов. В реальных расчетах поправки определяются в результате решения линейной системы (13).

Контроль завершения итерационного процесса выполняем по вектору невязок:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (16)

Это условие должно выполняться для невязок всех уравнений системы.

Алгоритм решения СНАУ методом Ньютона-Рафсона

1. Задание вектора начальных приближений неизвестных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

Задание точности расчета є , других параметров расчета

2. Определение невязок нелинейных уравнений в точке приближения Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

2.3. Определение элементов матрицы Якоби в точке очередного прибли-жения неизвестных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

2.4. Решение линеаризованной системы (13) любым известным методом. Определение поправок к неизвестным Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

2.5. Определение очередного приближения неизвестных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru в соответ-ствии с (14).

2.6. Контроль завершения итерационного процесса в соответствии с (16). Если условие не выполняется, то возврат к пункту 2.

Примерчик:

Решить СЛАУ методом Ньютона-Рафсона:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (решение Х12=2)

Запишем уравнения в виде невязок:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Определяем элементы матрицы Якоби:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Матрица Якоби: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Линеаризованная система уравнений:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Реализуем алгоритм метода Ньютона-Рафсона:

1) Первая итерация:

Начальные приближения Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Невязки Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Матрица Якоби: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Линеаризованная система уравнений:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

1-е приближение неизвестных:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

2) Вторая итерация

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

3) Третья итерация:

… ……… …… …… …… ……..

Решение систем уравнений установившегося режима методом Ньютона-Рафсона

Нелинейное уравнение установившегося режима в форме баланса мощ-ности для Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru -го узла имеет вид:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (17)

Это уравнение с комплексными неизвестными и коэффициентами. Для того, чтобы такие уравнения вида (17) можно было решать методом Ньюто-на-Рафсона, их преобразуют: разделяют действительные и мнимые части. В результате этого каждое комплексное уравнение вида (17) распадается на два действительных уравнения, которые соответствуют балансу активной и ре-активной мощности в узле:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . (18)

Здесь Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru -заданные мощности в узле;

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - неизвестные составляющие напряжения в узлах. Их нужно

определить в результате расчета.

В правой части уравнений (18) - расчетная суммарная мощность пере-токов в ветвях, подходящих к Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru -му узлу.

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Запишем эти уравнения (18) в виде невязок:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (19)

Невязки уравнений (19) соответствует расчетному небалансу активной и реактивной мощности в Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru -ом узле.

Невязки Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru описывают режим узла і и являются нелинейными функциями от неизвестных напряжений в узлах Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Нужно, чтобы Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru —> 0.

Будем решать методом Ньютона-Рафсона систему 2n уравнений вида (19), то есть для решения задачи расчета установившегося режима электри-ческой сети методом Ньютона - Рафсона нужно:

1) сформировать систему 2n уравнений вида (19) для всех узлов электрической сети, кроме балансирующих;

2) организовать итерационный процесс метода Ньютона-Рафсона

для решения этой системы уравнений. В результате решения

получаем искомые составляющие напряжений в узлах Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

Запишем эту систему уравнений в общем виде:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (20)

Получили систему 2 Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru нелинейных уравнений невязок с 2 Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru неизвест-ными, которыми. Неизвестными в ней являются составляющие напряжения - модули и углы Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

Для решения системы (20) методом Ньютона-Рафсона нужно составить вспомогательную линеаризованную систему уравнений вида (13), решая ко-торую на каждой итерации, определяем поправки к неизвестным:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (21)

С учетом принятых обозначений система (21) может быть записана:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (22)

где Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru -матрица Якоби, её элементами являются частные производные от уравнений системы (20) по всем неизвестным - составляющим напряже-ний Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru вектор невязок уравнений системы (20). Их значения получаем при подстановке в уравнения очередных приближений неизвестных;

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru вектор поправок к неизвестным:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ; ΔӨi = Өi(к+1) - Өi(к), ΔUi = Ui(к+1) - Ui(к).

Для определения элементов матрицы Якоби применяем аналитическое дифференцирование, т.е. дифференцируем каждое уравнение системы (20) по искомым величинам – углам и модулям напряжений. Чтобы сформировать матрицу Якоби, нужно получить аналитические выражения для производных следующих видов:

1) Производная от уравнения невязки активной мощности Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru го узла по углу напряжения этого же узла: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

2) Производная от уравнения невязки активной мощности Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru го узла по углу напряжения смежного j-го узла: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

3) Производная от невязки активной мощности Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru го узла по модулю напряжения этого же узла: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

4) Производная от невязки активной мощности Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru го узла по модулю напряжения смежного узла: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

Аналогично определяются ещё четыре вида производных – производные от уравнений невязки реактивной мощности Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru го узла по всем неизвестным:

5) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ; 6) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ; 7) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ; 8) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru .

С учетом этих производных матрицу Якоби можно записать в общем виде:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (23)

Определим аналитические выражения для производных, дифференци-руя уравнения системы (20) по неизвестным величинам. Они имеют вид:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (24)

Матрица Якоби в общем случае - квадратная матрица, симметричная, размерностью Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , её элементами являются частные производные от невязок уравнений (небаланса мощностей) по всем неизвестным.

Если узлы Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru не связаны между собой, то соответствующие произ-водные в матрицы матрице Якоби, расположенные вне диагонали, будут равны нулю (аналогично матрице проводимостей) – т.к. в соответствующих форму-лах (24) взаимная проводимость yij является сомножителем и . yij =0.

Каждая строка матрицы – это производные от очередного уравнения системы (20).

Наличие в схеме моделируемой сети особых узлов (опорные и балансирую-щие узлы, узлы ФМ) сказывается на структуре системы уравнений устано-вившегося режима и на структуре матрицы Якоби:

1. Для узлов с фиксацией модуля напряжения (ФМ), в которых заданы Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru и неизвестными являются Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru и Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , из матрицы Якоби исключается стро-ка производных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ( т.к. Qi не задана, то и уравнение баланса реак-тив-ной мощности (18), (19) составить нельзя) и столбец производных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (т.к. модуль напряжения Ui известен и он исключается из состава неизвест-ных).

2. Для узлов опорных и балансирующих – соответствующие строки и столбцы матрицы исключаются;

3. Если узлы не связаны непосредственно – соответствующие произ-водные в матрице равны нулю.

Матрицу Якоби можно разбить на четыре блока:

1) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - производные от уравнений небаланса активной мощности (20) по углам напряжений;

2) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - производные от уравнений небаланса активной мощности по модулям напряжений;

3) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - производные от уравнений небаланса реактивной мощности (20) по углам напряжений;

4) Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - производные от уравнений небаланса реактивной мощности по модулям напряжений.

Это матрицы-клетки частных производных небалансов активной и реактив-ной мощностей по неизвестным углам и модулям напряжений. В общем случае, это квадратные матрицы размерностью n×n.

С учетом этого, матрица Якоби может быть представлена в виде блочной мат-рицы:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , где Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru субвектора неизвестных величин.

С учетом этого,Тогда линеаризованную систему уравнений (22) можно запи-сать в ви-де:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . (25)

Решая эту линейную систему уравнений (любым известным методом) на

кКаждой итерации метода, находим поправки к неизвестным Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , а затем и

очередные приближения неизвестных:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (26)

Очередное приближение неизвестных можно, также, получить с использо-ванием итерационной формулы метода Ньютона-Рафсона, аналогичной (15):

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru - Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru · Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru (27)

Тут требуется обращение матрицы Якоби на каждой итерации – громоздкая вычислительная операция.

Алгоритм решения систем уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона

1. Задание начальных значений неизвестных напряжений Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . В ка-честве начальных приближений принимаем: Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , т.е. номинальные напряжения узлов;

2. Задание условий расчета: точность ε, предельное количество итера-ций Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru , ускоряющие коэффициенты и др.

3. Определение невязок уравнений Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru в соответствии с уравнениями (20) при очередных приближениях неизвестных;

4. Определение элементов матрицы Якоби Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru в соответствии с (24) при очередных приближениях неизвестных;

5. Решение линеаризованной системы уравнений (25) и определение поправок к неизвестным Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru ;

6. Определение очередных приближений неизвестных Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru в соответствии с (26);

7. Проверка завершения итерационного процесса:

Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru

Значения невязок уравнений для всех узлов должны быть меньше задан-ной точности.

Если условие не выполняется, то возврат к пункту 3 и повторение рас-чета при новых приближениях неизвестных.

Существует ряд модификаций метода Ньютона-Рафсона. В том числе:

1. Модифицированный метод Ньютона-Рафсона.

Матрицу Якоби рассчитывают один раз при начальных значениях неизвест-ных. На последующих итерациях она принимается постоянной. Это значи-тельно сокращает объем вычислений на каждой итерации, но увеличивает ко-личество итераций.

2. Разделенный метод Ньютона-Рафсона.

Производные вида Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru очень малы и их значениями можно прине-бречь. В результате, в матрице Якоби остаются два блока - 1-й и 4-й, и сис-тема (25), состоящая из Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru уравнений, распадается на две независимые сис-темы размерностью Решение систем нелинейных уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона - student2.ru . Каждая из этих систем решается отдельно от другой. Это приводит к сокращению объема вычислений и необходимой памяти ЭВМ.

Наши рекомендации