Схема исследования функции на монотонность

1. Найти О.О.Ф.

2. Найти Схема исследования функции на монотонность - student2.ru в О.О.Ф.

3. Найти критические точки в О.О.Ф.:

4. а).в которых выполняется равенство Схема исследования функции на монотонность - student2.ru ;

5. б) в которых Схема исследования функции на монотонность - student2.ru не существует.

6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.

7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.

8. На основании достаточных условий монотонности сделать заключение о характере монотонности в каждом из указанных в п.5 промежутков.

Пример 13. Исследовать на монотонность функцию Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Решение.

1). Данная функция определена на всей числовой прямой (х Î R).

2). Найдем производную:

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

3). а) из уравнения 2х - 4 = 0 находим х = 2;

б) Схема исследования функции на монотонность - student2.ru существует при всех х. Значит, х = 2 – единственная критическая точка.

4). Критическая точка х = 2 разбивает числовую ось на два промежутка (-¥; 2) и

(2; +¥).

5). Определим интервалы знакопостоянства производной Схема исследования функции на монотонность - student2.ru :

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru на промежутке (-¥; 2), так как Схема исследования функции на монотонность - student2.ru ;

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru на промежутке (2; +¥), так как Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru

Ответ: убывает на (-¥; 2),

возрастает на (2; +¥).

Пример 14. Найти промежутки монотонности функции Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Решение. О.О.Ф. – вся числовая прямая за исключением точки х = 0.

Находим Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Точки х = 0 (в ней производная не существует) не принадлежит О.О.Ф. Поэтому на числовой оси отмечаем ее «пустой» точкой. Очевидно, что Схема исследования функции на монотонность - student2.ru при всех х ¹ 0 Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и Схема исследования функции на монотонность - student2.ru ), то есть данная функция убывает в промежутках (-¥; 0) и (0; +¥).

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru

Ответ: убывает в промежутках (-¥; 0) и (0; +¥).

Пример 17. Найти промежутки возрастания (убывания) функции Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Решение. Найдем О.О.Ф. Для этого необходимо решить неравенство: Схема исследования функции на монотонность - student2.ru или Схема исследования функции на монотонность - student2.ru . Уравнение Схема исследования функции на монотонность - student2.ru имеет корни х1 = 0 и х2 = 1. Неравенство Схема исследования функции на монотонность - student2.ru справедливо прямоугольник всех значениях х в промежутке [0; 1]. Следовательно, функция Схема исследования функции на монотонность - student2.ru определена в промежутке [0; 1].

Найдем производную функции Схема исследования функции на монотонность - student2.ru :

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Критические точки: х1 = 1/2, х2 = 0, х3 = 1 (В точке х = 1/2 выполняется равенство Схема исследования функции на монотонность - student2.ru , а в точках х = 0 и х = 1 Схема исследования функции на монотонность - student2.ru не существует) – принадлежат области определения функции Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и разбивает ее на два промежутка: Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

В промежутке (0; 1) выражение в знаменателе производной Схема исследования функции на монотонность - student2.ru , поэтому знак производной определяется знаком числителя 1 - 2х:

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru на Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и Схема исследования функции на монотонность - student2.ru на Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Следовательно, функция Схема исследования функции на монотонность - student2.ru возрастает на промежутке Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и убывает на промежутке Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Схема исследования функции на монотонность - student2.ru

На промежутках (-¥; 0) и (1; +¥) функция Схема исследования функции на монотонность - student2.ru не определена.

Ответ: возрастает на промежутке Схема исследования функции на монотонность - student2.ru ;

убывает на промежутке Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

Исследование функции на экстремум.

Справочный материал.

1. Точка x=x0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума (максимума) этой функции, если у этой точки существует окрестность такая, что для всех x¹x0 из этой окрестности выполняется неравенство Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

2. Точки максимума Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и минимума Схема исследования функции на монотонность - student2.ru функции объединяются общим термином – точки экстремума.

3. Значения функции в точке экстремума называются соответственно максимумом Схема исследования функции на монотонность - student2.ru и минимумом Схема исследования функции на монотонность - student2.ru функции (или экстремумами самой функции).

4. Функция y=f(x), график которой расположен на рис.1, в точках x1 и x3 имеет минимумы Схема исследования функции на монотонность - student2.ru , а в точках x2 и x4 – максимумы Схема исследования функции на монотонность - student2.ru . Точки a и b не считаются точками экстремума функции f(x), т.к. у этих точек нет окрестности, целиком входящей в область определения функции.

5. Исследование функции на экстремум основано на следующих двух утверждениях:

а). Необходимое условие экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции y=f(x), то производная в этой точке равна нулю: Схема исследования функции на монотонность - student2.ru .

б). Достаточные условие экстремума.

Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.

Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.

Наши рекомендации