Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування.

Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де а_і та b_k — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. II.

III.

IV.

Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен .

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І.

ІІ.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

Приклад. Обчислити інтеграл.

а) б) в)

Розв'язок:

а) Оскільки степінь чисельника менший за степінь знаменника, то підінтегральна функція – правильний дріб. Знаменник

можна розкласти на множники таким чином дріб розкладається на суму доданків першого типу (І):

Невідомі коефіцієнти знаходимо методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину отриманої тільки що нерівності зводимо до спільного знаменника:

Прирівнюємо чисельники для знаходження невідомих коефіцієнтів

Ця рівність виконується коли коефіцієнти при однакових степенях рівні між собою. З цієї у мови отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих

З цієї системи знаходимо невідомі

Наша підінтегральна функція набуде вигляду

Інтегруючи останню рівність отримаємо

б) Підінтегральна функція

є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені. Такий дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів

Визначимо невідомі коефіцієнти , для цього праву частину зведемо до спільного знаменника.

Розкриваємо дужки і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках. Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь

Є інший спосіб отримання системи рівнянь для визначення невідомих. Чисельники справа і зліва повинні бути рівні для всіх . Ця особливість дещо спрощує розв'язування системи рівнянь. Як правило, за точки в першу чергу беруть корені рівняння та 0. В нашому випаду це були б значення . Нуль вибирають за рахунок простоти обчислень.

Розв'язавши отриману вище систему рівнянь, отримаємо наступні значення невідомих:

Інтегруємо підінтегральну функцію, врахувавши знайдені константи

б) Підінтегральна функція є правильним дробом. Знаменник містить квадратний тричлен множники. Даний дріб за правилами розкладається на суму дробів І-го та ІІІ-го типів:

Звівши до спільного знаменника, матимемо:

Можемо прирівняти коефіцієнти при однакових степенях, але поступимо інакше, щоб навчитися використовувати іншу методику. Тож підставимо корінь в ліву і праву частину рівності, отримаємо

Щоб позбутися невідомої підставимо

Для знаходження невідомої випишемо постійні при

В такий спосіб, не виписуючи систем лінійних рівнянь і не розв'язуючи їх, можна досить швидко знайти невідомі.

Підставивши знайдені значення, отримаємо інтеграл

Перший доданок інтегруємо

а до другого застосовуємо заміну

та зводимо до суми двох

Підсумувавши отримані інтеграли, остаточно отримаємо розв'язок: