Векторное произведение векторов

Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор. Понятие векторного произведения, о котором пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евклидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого отлично от трех, не имеется аналогий этого понятия.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru означает, что первым элементом тройки является вектор Векторное произведение векторов - student2.ru , вторым – вектор Векторное произведение векторов - student2.ru и третьим – вектор Векторное произведение векторов - student2.ru .

Упорядоченная тройка некомпланарных[1] векторов Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к общему началу векторами Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , мы видим кратчайший поворот от Векторное произведение векторов - student2.ru к Векторное произведение векторов - student2.ru и от него к Векторное произведение векторов - student2.ru совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная тройка некомпланарных векторов Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru является правой, если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.

Определение. Векторным произведением вектора Векторное произведение векторов - student2.ru на вектор Векторное произведение векторов - student2.ru называется вектор Векторное произведение векторов - student2.ru , обозначаемый символом Векторное произведение векторов - student2.ru (или Векторное произведение векторов - student2.ru ) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1) длина вектора Векторное произведение векторов - student2.ru равна Векторное произведение векторов - student2.ru , где Векторное произведение векторов - student2.ru – угол между векторами Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru , т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru , как на сторонах;

2) вектор Векторное произведение векторов - student2.ru ортогонален плоскости векторов Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru ( Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru );

3) векторы Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru образуют правую тройку векторов.

Требования 1 и 2 определяют вектор Векторное произведение векторов - student2.ru с точностью до двух взаимно противоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направлений. В случае, когда Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru коллинеарные, тройка Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru является компланарной, но в этом случае уже из требования 1 следует, что Векторное произведение векторов - student2.ru .

 
  Векторное произведение векторов - student2.ru

Понятие векторного произведения (так же, как и скалярное произведение[2]) родилось в механике. Если вектор Векторное произведение векторов - student2.ru изображает приложенную в некоторой точке Векторное произведение векторов - student2.ru силу, а вектор Векторное произведение векторов - student2.ru идет из некоторой точки Векторное произведение векторов - student2.ru в точку Векторное произведение векторов - student2.ru , то вектор Векторное произведение векторов - student2.ru представляет собой момент силы Векторное произведение векторов - student2.ru относительно точки Векторное произведение векторов - student2.ru .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение векторов - student2.ru векторы Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru – коллинеарны. В частности Векторное произведение векторов - student2.ru .

2. Векторное произведение векторов - student2.ru (антикоммутативность).

3. Векторное произведение векторов - student2.ru , для любого Векторное произведение векторов - student2.ru (однородность).

4. Векторное произведение векторов - student2.ru ,

Векторное произведение векторов - student2.ru (дистрибутивность).

Если векторы Векторное произведение векторов - student2.ru , Векторное произведение векторов - student2.ru заданы своими координатами в базисе Векторное произведение векторов - student2.ru , т.е. Векторное произведение векторов - student2.ru то

Векторное произведение векторов - student2.ru (1.5)

Пример 6.Найти векторное произведение векторов Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru Решение. Воспользуемся формулой (1.5)

Векторное произведение векторов - student2.ru Векторное произведение векторов - student2.ru

Пример 7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru

Решение. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах

Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru , как длину их векторного произведения, т.е.

Векторное произведение векторов - student2.ru . Сначала найдем

Векторное произведение векторов - student2.ru

Векторное произведение векторов - student2.ru .

Пример 8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru , если Векторное произведение векторов - student2.ru

Решение. Согласно 1-му пункту определения векторного произведения имеем: Векторное произведение векторов - student2.ru = Векторное произведение векторов - student2.ru

Пример 9.Найтиплощадь треугольника, построенного на векторах Векторное произведение векторов - student2.ru если Векторное произведение векторов - student2.ru

Решение.

Векторное произведение векторов - student2.ru

При вычислении воспользовались свойствами векторного произведения 1-4, т.е. Векторное произведение векторов - student2.ru

Пример 10.Найти площадь треугольника с вершинами в точках Векторное произведение векторов - student2.ru

Решение. Векторное произведение векторов - student2.ru составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru , как на сторонах. Найдем координаты векторов Векторное произведение векторов - student2.ru Вычислим Векторное произведение векторов - student2.ru :

Векторное произведение векторов - student2.ru

Векторное произведение векторов - student2.ru

Векторное произведение векторов - student2.ru

Пример 11.Найти Векторное произведение векторов - student2.ru , если Векторное произведение векторов - student2.ru ,

Векторное произведение векторов - student2.ru

Решение. Найдем координаты векторов Векторное произведение векторов - student2.ru и Векторное произведение векторов - student2.ru

Векторное произведение векторов - student2.ru

Векторное произведение векторов - student2.ru

Вычислим Векторное произведение векторов - student2.ru

Найдем длину векторного произведения:

Векторное произведение векторов - student2.ru

Наши рекомендации