Абсолютная и относительная погрешности

Кафедра информатики и вычислительной техники

С.А. Лысенкова

Н.Б. Назина

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебно-методическое пособие

Сургут

Издательский центр СурГУ

УДК 519.6(072)

ББК 22.193я73

Л-886

Печатается по решению

редакционно-издательского совета СурГУ

Рецензент:Назин А.Г. – к.ф.-м.н., доцент кафедры

прикладная математика

Лысенкова С. А.

Численные методы: учебно-методическое пособие / С.А. Лысенкова, Н. Б. Назина ; Сургут. Гос. Ун-т ХМАО – Югры. – Сургут : ИЦ СурГУ, 2014. – 53 с.

Приведена теория и формулы по темам «Элементы теории погрешностей», «Численные методы решения нелинейных уравнений», «Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений», «Аппроксимация экспериментальных данных», «Численное интегрирование», «Численное решение дифференциальных уравнений», «Линейное программирование».

Рассмотрены способы реализации средствами Excel.

Предназначено для студентов первого курса Политехнического института изучающих дисциплину «Информатика».

УДК 519.6(072)

ББК 22.193я73

Л-886

© Лысенкова С. А.,Назина Н. Б.,

составление, 2014

© ГБОУ ВПО «Сургутскийгосударственныйуниверситет ХМАО – Югры», 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.. 3

АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ.. 3

Численные методы решения нелинейных уравнений.. 4

Способы отделения корней уравнений.. 4

Решение нелинейных уравнений методами бисекций и хорд 6

Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом 8

Решение нелинейных уравнений методом простых итераций 9

Численные методы решения системлинейных уравнений 10

Решение систем линейных уравнений методом простых итераций методом зейделя 10

аппроксимация экспериментальных данных.. 12

аппроксимация методом наименьших квадратов.. 12

численное интегрирование.. 14

приближенное решение определенных интегралов.. 14

численное решение дифференциальных уравнений.. 17

приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 17

линейное программирование.. 19

Литература.. 21

Приложения.. 22

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ

Пусть абсолютная и относительная погрешности - student2.ru – точное значение, абсолютная и относительная погрешности - student2.ru – приближенное значение некоторого числа.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна модулю разности между его точным и приближенным значениями:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Довольно часто точное значение абсолютная и относительная погрешности - student2.ru неизвестно, поэтому вместо абсолютной погрешности используют понятие границы абсолютной погрешности:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Число абсолютная и относительная погрешности - student2.ru называется предельной абсолютной погрешностью, оно равно или превышает значение абсолютной погрешности.

Основной характеристикой точности числа является относительная погрешность.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru Результат действий над приближенными числами представляет собой приближенное число. Погрешность результата выражается через погрешности первоначальных данных по правилам:

1. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

2. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

3. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

4. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Общая формула для оценки предельной абсолютной погрешности функции нескольких переменных абсолютная и относительная погрешности - student2.ru имеет вид:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

где абсолютная и относительная погрешности - student2.ru –предельная абсолютная погрешность числа абсолютная и относительная погрешности - student2.ru .

Пример: Известно, что абсолютная и относительная погрешности - student2.ru где абсолютная и относительная погрешности - student2.ru абсолютная и относительная погрешности - student2.ru абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Найти абсолютная и относительная погрешности - student2.ru , абсолютная и относительная погрешности - student2.ru , абсолютная и относительная погрешности - student2.ru , абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Для оценки предельной абсолютной погрешности воспользуемся формулой:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Рис. 1. Вид экрана для вычисления абсолютной и относительной погрешностей

Исходные данные вводятся в блок А1:B6 (рис. 1). В ячейки С1:С6вводятся формулы для вычисления частных производных искомой функции. В ячейку Е8записывается формула абсолютная и относительная погрешности - student2.ru . Модуль вводится с использованием функции =abs().

В ячейках D1:E6рассчитываются верхние и нижние оценки значений переменных по формулам абсолютная и относительная погрешности - student2.ru (аналогично для других переменных).

В ячейках B8:B10вычисляются верхняя и нижняя оценки значений функции и само значение функции абсолютная и относительная погрешности - student2.ru отличие вычисляемых функций в используемом наборе аргументов.

В ячейку Е9записывается формула для вычисления абсолютной погрешности абсолютная и относительная погрешности - student2.ru Найденная абсолютная погрешность не должна превышать значение предельной абсолютной погрешности, т.е. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

В ячейку Е10записывается формула для вычисления относительной погрешности абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Предельную относительную погрешность заданной функции абсолютная и относительная погрешности - student2.ru вычислим следующим образом:

абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Полученную формулу записывают в ячейку Е11. Найденная относительная погрешность не должна превышать значение предельной относительной погрешности, т.е. абсолютная и относительная погрешности - student2.ru

Задания для самостоятельного выполнения.

Из таблицы 1 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Вычислить частные производные, верхнюю и нижнюю оценки значений функции и само значение функции, изменить формулу вычисления предельной относительной погрешности. Все остальные ячейки пересчитаются автоматически.

Контрольные вопросы

1. Как записать основные математические функции в Excel.

2. Сформулируйте определение абсолютной и относительной погрешностей.

3. Запишите формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей.

4. Основные правила вычисления абсолютной и относительной погрешностей.

Наши рекомендации