Разложение знаменателя дроби на множители

ИКТИБ ИТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Лекция 23 Интегрирование рациональных функций

Важнейший случай, когда неопределенный интеграл может быть вычислен в явном виде, - это интеграл от так называемой рациональной функции.

Определение 1. Рациональной называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. это функция вида Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . (1).

Здесь Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru - многочлен степени Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru - многочлен степени Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . При Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru рациональная функция (1) называется правильной дробью, при Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru рациональная функция (1) называется неправильной дробью.

План вычисления интеграла от рациональной функции

При вычислении интеграла Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru от рациональной функции разумно действовать по следующему плану.

Шаг № 1. Преобразование неправильной дроби в правильную. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то мы числитель делим на знаменатель и приходим к интегрированию правильной дроби и многочлена.

Пример 1. Представьте неправильную дробь Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru в виде суммы многочлена степени 2 (4-2=2) и правильной дроби.

Решение. После деления «в столбик» найдем частное от деления Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru и остаток Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . Тем самым получим равенство Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Шаг № 2. Разложение знаменателя дроби на множители. Знаменатель подынтегральной функции является многочленом и, следовательно, представляется в виде произведения линейных и квадратичных множителей.

Пример 2. Знаменатель Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru в заданной дроби разлагается на линейные множители, т. е. справедливо равенство Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Шаг № 3. Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей. Правильная дробь, т. е. рациональная функция, степень числителя которой меньше степени знаменателя, представляется в виде так называемых простейших дробей. Это дроби вида: Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Пример 3. Представьте правильную дробь Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru в виде Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Решение. Рассмотрим равенство Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , которое имеет решение Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Шаг № 4. Интегрирование простейших дробей.

Мы узнаем, как вычислить интегралы вида: Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru .

Преобразование неправильной дроби в правильную

Еще из школы мы знаем, что дробь равна частному плюс остаток, деленный на знаменатель, т. е. справедлива формула Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . Такая же формула справедлива для многочленов Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . Здесь Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru - многочлен степени Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , остаток Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru - многочлен, степень которого меньше степени знаменателя.

Разложение знаменателя дроби на множители

По основной теореме алгебры многочлен, степень которого больше 0, имеет хотя бы один, вообще говоря, комплексный корень. С другой стороны, по теореме Безу, если многочлен имеет корень Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , то он делится на Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , т. е. имеет такой множитель.. Если Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru - действительное число, то мы имеем линейный множитель Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . В случае комплексного корня Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru корнем многочлена с действительными коэффициентами будет также сопряженное комплексное число Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . В соответствии с теоремой Безу многочлен имеет 2 множителя Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru и Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru , произведение которых равно Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . Этот множитель является квадратичным с отрицательным дискриминантом при Разложение знаменателя дроби на множители - student2.ru . Итак, любой многочлен, представляется в виде произведения линейных и квадратичных множителей.

Наши рекомендации