Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , или, то же самое: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru получается квадратный корень Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Уравнение вида Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru имеет ровно Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru корней Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , которые можно найти по формуле:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , где Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru – это модуль комплексного числа Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru – его аргумент, а параметр Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru принимает значения: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Пример 16

Найти корни уравнения Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Перепишем уравнение в виде Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

В данном примере Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , поэтому уравнение будет иметь два корня: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru :
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Число Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru располагается в первой четверти, поэтому:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , получаем первый корень:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Подставляя в формулу значение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , получаем второй корень:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Ответ: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru .

Пример 17

Найти корни уравнения Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , где Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Сначала представим уравнение в виде Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru :
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Если Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , тогда Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Обозначим Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru привычной формульной буквой: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru .
Таким образом, требуется найти корни уравнения Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

В данном примере Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , а значит, уравнение имеет ровно три корня: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Детализирую общую формулу:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Найдем модуль и аргумент комплексного числа Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru :
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Число Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru располагается во второй четверти, поэтому:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Еще раз детализирую формулу:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru , Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Корень удобно сразу же упростить:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Подставляем в формулу значение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и получаем первый корень:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Подставляем в формулу значение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и получаем второй корень:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Подставляем в формулу значение Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и получаем третий корень:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru
Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и выясняем, чему равняется угол в градусах: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru . Отмеряем транспортиром Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и ставим на чертеже точку Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru .

Берем аргумент второго корня Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и переводим его в градусы: Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru . Отмеряем транспортиром Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и ставим на чертеже точку Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru .

По такому же алгоритму строится точка Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Уравнения четвертого Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? - student2.ru и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.

Для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

Наши рекомендации