Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. ч.3. 3 страница

(9)

Характеристическое уравнение

имеет корни , следовательно, в силу теоремы 2 точка покоя систем (8) и (9) неустойчива (т.к. ).

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы

(10)

Имеем:

(10a)

т.е. удовлетворяют условиям теорем 1 и 2. Характеристическое уравнение для системы первого приближения

(11)

т.е.

имеет корни с отрицательными действительными частями. Поэтому точки покоя систем (10) и(11) асимптотически устойчивы.

Пример 3.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы

(12)

Характеристическое уравнение системы I приближения имеет чисто мнимые корни критический случай. Исследование по I приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова

1)

2)

причем вне некоторой окрестности начала координат , следовательно, точка покоя по теореме Ляпунова асимптотически устойчива.

Система уравнений первого приближения

(13)

имела в точке покоя центр. Наличие нелинейных членов в системе (12) превратило этот центр в устойчивый фокус.

Рассмотрим ситуацию последнего примера в общем виде. Пусть система I приближения для системы

(14)

имеет точку типа центра в начале координат. Предположим, что нелинейные члены имеют порядок выше первого относительно . Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но всё же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки траектория после обхода начала координат, вообще говоря, не попадет в точку траектория не замыкается.

Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к нему, то в начале координат возникает устойчивый фокус, если же траектории удаляются от начала координат, то возникает неустойчивый фокус.

В виде исключения возможен также случай, когда все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типична ситуация, при которой лишь некоторые (может быть и ни одной)

замкнутые кривые останутся замкнутыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.

Рис. 1 Рис. 2

Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающиеся при к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (аттрактором); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при , то предельный цикл называется неустойчивым (репеллером); если же с одной стороны предельного цикла при спирали приближающиеся к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 2), то предельный цикл называется полуустойчивым.

Итак, переход от системы I приближения (5) к системе (14) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный (может быть и ) предельными циклами.

В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т.е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.

4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с независимыми переменными может быть записано в виде

, (1)

где – заданная функция, - искомая функция, – независимые переменные.

Пример 1.

.

Интегрируя, имеем

,

где - произвольная функция от .

Пример 2.

.

Интегрируя по , получим

,

где - произвольная функция . Интегрируем теперь по :

,

где - произвольная функция от . Окончательно имеем:

,

где

-

произвольная функция.

Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

. (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .

Если , а коэффициенты не зависят от , то уравнение (2) называется линейным однородным.

Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

, (3)

где непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

. (4)

Это система дифференциальных уравнений векторных линий.

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

(5)

Если векторная поверхность задана уравнением , то вектор

,

и условие (5) принимает вид:

. (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением (неявно), т.е.

,

то условие (5) имеет следующий вид:

. (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

. (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

)

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Пример 3.

.

Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию

,

т.е.

,

откуда

.

Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию

,

откуда

.

Итак,

, .

Следовательно,

.

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

Итак, первым интегралом

(8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном можно интерпретировать как -мерную поверхность в -мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

При переменном получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого - параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

Если найдено интегрируемых комбинаций, то получаем первых интегралов

(9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где какие-нибудь функций из , не равен нулю, то из системы (9) можно выразить неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Пример 4.

где . Умножив первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, получим

,

т.е. имеем I- й интеграл:

.

Умножим первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, имеем

.

Откуда получаем следующий I- й интеграл:

.

За исключением случая , когда система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.

Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7):

, (10)

где

= .

Характеристики

Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

. (11)

Пусть , - два независимых первых интеграла системы (10). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

, ,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость между параметрами и . Исключая из системы

, ,

параметры и , получим искомое уравнение векторных поверхностей

, (12)

где – произвольная функция. Тем самым найден общий интеграл квазилинейного уравнения (3), зависящий от произвольной функции.

Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (12) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных из системы уравнений

, ,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

Задача станет неопределенной, если заданная линия является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

Итак, общий интеграл квазилинейного уравнения

, (3)

зависящий от произвольной функции может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(4)

и, найдя два независимых первых интеграла этой системы

, ,

получаем искомый интеграл в виде , где – произвольная функция.

Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию путем исключения из уравнений

, ,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 5.

Найти общий интеграл уравнения

.

Вспомогательная система уравнений имеет вид (здесь )

.

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где – произвольная функция.

Пример 6.

Найти интегральную поверхность уравнения

,

проходящую через кривую .

Интегрируем систему

,

откуда имеем первые интегралы: . Исключаем из уравнений

, .

Получаем , откуда .

Пример 7.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

.

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью . Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через заданную окружность, например, параболоиды вращения , , , , сфера и т.д.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.

Рассмотрим уравнение вида

, (1)

где – заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных ; – искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (2)