Место дисциплины в структуре ООП. Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

АЛГЕБРА

Направление подготовки

Компьютерная безопасность

Профиль подготовки

Информационная безопасность объектов информатизации

На базе компьютерных систем

Разработка защищенного программного обеспечения

Математические методы защиты информации

Квалификация специалиста

Математик

Форма обучения

очная

Ставрополь 2012

Цели освоения дисциплины

Дисци­п­ли­на «Ал­геб­ра» реа­ли­зу­ет тре­бо­ва­ния го­су­дар­ст­вен­но­го об­ра­зо­ва­тель­но­го стан­дар­та по спе­ци­аль­но­сти 090301 «Ком­пь­ю­тер­ная безо­пас­ность», со­дей­ст­ву­ет фун­да­мен­та­ли­за­ции об­ра­зо­ва­ния, фор­ми­ро­ва­нию ми­ро­воз­зре­ния и раз­ви­тию ло­ги­че­ско­го мыш­ле­ния.

Це­лью пре­по­да­ва­ния дис­ци­п­ли­ны яв­ля­ет­ся: обес­пе­че­ние фун­да­мен­таль­ной под­го­тов­ки в од­ной из важ­ней­ших об­лас­тей со­вре­мен­ной ма­те­ма­ти­ки; оз­на­ком­ле­ние с ос­но­ва­ми клас­си­че­ской и со­вре­мен­ной ал­геб­ры, а так­же с при­мы­каю­щи­ми к ал­геб­ре раз­де­ла­ми тео­рии чи­сел; обу­че­ние ос­нов­ным ал­геб­раи­че­ским ме­то­дам ре­ше­ния за­дач, воз­ни­каю­щих в дру­гих ма­те­ма­ти­че­ских дис­ци­п­ли­нах и в прак­ти­ке; оз­на­ком­ле­ние с ис­то­ри­ей раз­ви­тия ал­геб­ры и с вкла­дом рос­сий­ских уче­ных в раз­ви­тие со­вре­мен­ной ал­геб­раи­че­ской нау­ки.

Место дисциплины в структуре ООП

Дис­ци­п­ли­на «Ал­геб­ра» от­но­сит­ся к чис­лу дис­ци­п­лин ба­зо­вой час­ти ма­те­ма­ти­че­ско­го и ес­те­ст­вен­но­на­уч­но­го цик­ла.

Для ус­пеш­но­го ус­вое­ния дан­ной дис­ци­п­ли­ны не­об­хо­ди­мо, что­бы сту­дент вла­дел зна­ния­ми, уме­ния­ми и на­вы­ка­ми, сфор­ми­ро­ван­ны­ми в про­цес­се изу­че­ния про­грам­мы об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ной шко­лы.

Зна­ния, по­лу­чен­ные при изу­че­нии дис­ци­п­ли­ны «Ал­геб­ра», ис­поль­зу­ют­ся в не­сколь­ких дис­ци­п­ли­нах ма­те­ма­ти­че­ско­го и ес­те­ст­вен­но­на­уч­но­го цик­ла, а так­же яв­ля­ют­ся ба­зо­вы­ми для це­ло­го ря­да про­фес­сио­наль­ных дис­ци­п­лин:

− Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз

− Тео­рия ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­ти­че­ская ста­ти­сти­ка

− Ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка и тео­рия ал­го­рит­мов

− Дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка

− Тео­ре­ти­ко-чи­сло­вые ме­то­ды в крип­то­гра­фии

− Крип­то­гра­фи­че­ские ме­то­ды за­щи­ты ин­фор­ма­ции

− Крип­то­гра­фи­че­ские про­то­ко­лы

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Ал­геб­ра»:

спо­соб­ность по­ни­мать со­ци­аль­ную зна­чи­мость сво­ей бу­ду­щей про­фес­сии, це­ли и смысл го­су­дар­ст­вен­ной служ­бы, об­ла­дать вы­со­кой мо­ти­ва­ци­ей к вы­пол­не­нию про­фес­сио­наль­ной дея­тель­но­сти в об­лас­ти обес­пе­че­ния ин­фор­ма­ци­он­ной безо­пас­но­сти, за­щи­ты ин­те­ре­сов лич­но­сти, об­ще­ст­ва и го­су­дар­ст­ва, го­тов­но­стью и спо­соб­но­стью к ак­тив­ной со­стя­за­тель­ной дея­тель­но­сти в ус­ло­ви­ях ин­фор­ма­ци­он­но­го про­ти­во­бор­ст­ва (ОК-5);

спо­соб­ность ло­ги­че­ски вер­но, ар­гу­мен­ти­ро­ва­но и яс­но стро­ить уст­ную и пись­мен­ную речь на рус­ском язы­ке, го­то­вить и ре­дак­ти­ро­вать тек­сты про­фес­сио­наль­но­го на­зна­че­ния, пуб­лич­но пред­став­лять соб­ст­вен­ные и из­вест­ные на­уч­ные ре­зуль­та­ты, вес­ти дис­кус­сии (ОК-7);

спо­соб­ность к ло­ги­че­ски-пра­виль­но­му мыш­ле­нию, обоб­ще­нию, ана­ли­зу, кри­ти­че­ско­му ос­мыс­ле­нию ин­фор­ма­ции, сис­те­ма­ти­за­ции, про­гно­зи­ро­ва­нию, по­ста­нов­ке ис­сле­до­ва­тель­ских за­дач и вы­бо­ру пу­тей их ре­ше­ния на ос­но­ва­нии прин­ци­пов на­уч­но­го по­зна­ния (ОК-9);

спо­соб­ность вы­яв­лять ес­те­ст­вен­но­на­уч­ную сущ­ность про­блем, воз­ни­каю­щих в хо­де про­фес­сио­наль­ной дея­тель­но­сти, и при­ме­нять со­от­вет­ст­вую­щий фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ский ап­па­рат для их фор­ма­ли­за­ции, ана­ли­за и вы­ра­бот­ки ре­ше­ния (ПК-1);

спо­соб­ность при­ме­нять ма­те­ма­ти­че­ский ап­па­рат, в том чис­ле с ис­поль­зо­ва­ни­ем вы­чис­ли­тель­ной тех­ни­ки, для ре­ше­ния про­фес­сио­наль­ных за­дач (ПК-2);

спо­соб­но­стью при­ме­нять ме­то­до­ло­гию на­уч­ных ис­сле­до­ва­ний в про­фес­сио­наль­ной дея­тель­но­сти, в том чис­ле в ра­бо­те над меж­дис­ци­п­ли­нар­ны­ми и ин­но­ва­ци­он­ны­ми про­ек­та­ми (ПК-4);

спо­соб­ность при­ме­нять со­вре­мен­ные ме­то­ды и сред­ст­ва ис­сле­до­ва­ний для обес­пе­че­ния ин­фор­ма­ци­он­ной безо­пас­но­сти ком­пь­ю­тер­ных сис­тем (ПК-15);

спо­соб­ность го­то­вить на­уч­но-тех­ни­че­ские от­че­ты, об­зо­ры, пуб­ли­ка­ции по ре­зуль­та­там вы­пол­нен­ных ра­бот (ПК-17);

спо­соб­ность раз­ра­ба­ты­вать ма­те­ма­ти­че­ские мо­де­ли безо­пас­но­сти за­щи­щае­мых ком­пь­ю­тер­ных сис­тем (ПК-18);

В ре­зуль­та­те изу­че­ния дис­ци­п­ли­ны сту­дент дол­жен:

Знать:

− ос­нов­ные свойства важнейших ал­геб­раи­че­ских струк­тур;

− ос­но­вы ли­ней­ной ал­геб­ры над про­из­воль­ны­ми по­ля­ми,

− коль­цо мно­го­чле­нов и его свой­ст­ва,

− век­тор­ные про­стран­ст­ва над по­ля­ми и их свой­ст­ва,

− ос­но­вы тео­рии групп и тео­рии групп под­ста­но­вок.

Уметь:

- опе­ри­ро­вать с чи­сло­вы­ми и ко­неч­ны­ми по­ля­ми, коль­ца­ми, под­ста­нов­ка­ми, мно­го­чле­на­ми, мат­ри­ца­ми, в том чис­ле с ис­поль­зо­ва­ни­ем ком­пь­ю­тер­ных про­грамм;

- ре­шать сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний над по­ля­ми;

- при­во­дить мат­ри­цы и квад­ра­тич­ные фор­мы к ка­но­ни­че­ско­му ви­ду;

- про­из­во­дить оцен­ку ка­че­ст­ва по­лу­чен­ных ре­ше­ний при­клад­ных за­дач.

Вла­деть:

- на­вы­ка­ми ре­ше­ния ал­геб­раи­че­ских, мат­рич­ных, под­ста­но­воч­ных урав­не­ний;

- на­вы­ка­ми ре­ше­ния ли­ней­ных урав­не­ний над по­лем и коль­цом вы­че­тов;

- на­вы­ка­ми ре­ше­ния стан­дарт­ных за­дач в век­тор­ных про­стран­ст­вах;

- на­вы­ка­ми на­хо­ж­де­ния ка­но­ни­че­ских форм ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний;

- на­вы­ка­ми поль­зо­ва­ния биб­лио­те­ка­ми при­клад­ных про­грамм для ЭВМ для ре­ше­ния при­клад­ных за­дач.

4. Структура и содержание дисциплины «Ал­геб­ра»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц, 432 часа.

Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
			лекц.	практ.	лаб.	сам.раб.
Ос­нов­ные ал­геб­раи­че­ские струк­ту­ры		1-8					Проверка домашних заданий, коллоквиум 1, КР №1
Кольцо мат­ри­ц над кольцом. Матрицы над полем		9-17					Проверка домашних заданий, коллоквиум 2, КР №2, экзамен
Итого за 1 семестр:
Системы ли­ней­ных урав­не­ний над полем. Системы ли­ней­ных неравенств		1-8					Проверка домашних заданий, коллоквиум 1, КР №1
Кольца и поля		9-18					Проверка домашних заданий, коллоквиум 2, КР №2, экзамен
Итого за 2 семестр:
Группы		1-12					Проверка домашних заданий, коллоквиум 1, КР №1
Векторные пространства		13-17					Проверка домашних заданий, коллоквиум 2, КР №2, экзамен
Итого за 3 семестр:
Линейные преобразования векторных пространств		1-8					Проверка домашних заданий, тестирование
Евклидовы и унитарные пространства		9-14					Проверка домашних заданий, коллоквиум 1, КР №1
Квадратичные формы		15-18					Проверка домашних заданий, коллоквиум 2, КР №2, экзамен
Итого за 4 семестр:
Итого:

Содержание курса

За­да­чи и про­грамма кур­са. Ме­сто ал­геб­ры в ря­ду дру­гих ма­те­ма­ти­че­ских дис­ци­п­лин, при­ме­не­ние в них ме­то­дов ал­геб­ры.

При­ме­не­ние ме­то­дов ал­геб­ры в про­фес­сио­наль­ных дис­ци­п­ли­нах и в за­да­чах прак­ти­че­ских под­раз­де­ле­ний.

Фор­мы са­мо­стоя­тель­ной ра­бо­ты сту­ден­тов по изу­че­нию кур­са. Ли­те­ра­ту­ра по кур­су.

Раз­дел 1. Ос­нов­ные ал­геб­раи­че­ские струк­ту­ры

Под­мно­же­ст­ва ко­неч­но­го мно­же­ст­ва. Раз­ме­ще­ния и фор­му­ла их чис­ла. Пе­ре­ста­нов­ки эле­мен­тов мно­же­ст­ва, их чис­ло. Со­че­та­ния и фор­му­ла их чис­ла. Фор­му­ла раз­ло­же­ния би­но­ма. Чис­ло под­мно­жеств ко­неч­но­го мно­же­ст­ва.

Чет­ные и не­чет­ные пе­ре­ста­нов­ки мно­же­ст­ва чи­сел. Из­ме­не­ние чет­но­сти пе­ре­ста­но­вок при транс­по­зи­ции. Чис­ло чет­ных и не­чет­ных пе­ре­ста­но­вок. Функ­ция чет­но­сти.

Внут­рен­ние би­нар­ные опе­ра­ции на мно­же­ст­ве и их свой­ст­ва: ком­му­та­тив­ность, ас­со­циа­тив­ность, ней­траль­ный эле­мент, сим­мет­рич­ный эле­мент, ди­ст­ри­бу­тив­ность. Оп­ре­де­ле­ние и про­стей­шие свой­ст­ва по­лу­групп и групп.

Оп­ре­де­ле­ние коль­ца, ос­нов­ные то­ж­де­ст­ва. Ком­му­та­тив­ное коль­цо, коль­цо с еди­ни­цей. При­ме­ры: коль­цо це­лых чи­сел, коль­цо с ну­ле­вым ум­но­же­ни­ем. Де­ли­те­ли ну­ля. Об­ра­ти­мые эле­мен­ты коль­ца с еди­ни­цей.

Оп­ре­де­ле­ние по­ля, от­сут­ст­вие де­ли­те­лей ну­ля. При­ме­ры: по­ле ра­цио­наль­ных чи­сел, по­ле дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, поле из двух элементов.

Раз­дел 2. Кольцо мат­ри­ц над кольцом. Матрицы над полем

Мат­ри­цы над коль­цом, раз­лич­ные фор­мы за­пи­си. Сло­же­ние мат­риц, ум­но­же­ние на эле­мент коль­ца. Ум­но­же­ние мат­риц. Коль­цо квад­рат­ных мат­риц. Транс­по­ни­ро­ван­ная мат­ри­ца.

Оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы над ком­му­та­тив­ным коль­цом, ка­но­ни­че­ское раз­ло­же­ние. Оп­ре­де­ли­тель верх­не (ниж­не)-тре­уголь­ной мат­ри­цы. Оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы с боль­шим пря­мо­уголь­ни­ком из ну­лей. Свой­ст­ва оп­ре­де­ли­те­ля.

Ми­но­ры мат­ри­цы. Тео­ре­ма Ла­п­ла­са, след­ст­вия. Оп­ре­де­ли­тель про­из­ве­де­ния мат­риц.

Оп­ре­де­ле­ние об­рат­ной мат­ри­цы для мат­ри­цы над коль­цом с еди­ни­цей. Кри­те­рий об­ра­ти­мо­сти мат­ри­цы над ком­му­та­тив­ным коль­цом с еди­ни­цей.

Эле­мен­тар­ные пре­об­ра­зо­ва­ния мат­риц над коль­цом с еди­ни­цей. Эле­мен­тар­ные мат­ри­цы. Эк­ви­ва­лент­ные мат­ри­цы.

Ранг мат­ри­цы. Строч­ная эк­ви­ва­лент­ность мат­ри­цы над по­лем сту­пен­ча­той мат­ри­це. Эк­ви­ва­лент­ность мат­ри­цы ка­но­ни­че­ской мат­ри­це. Един­ст­вен­ность ка­но­ни­че­ской мат­ри­цы.

Свой­ст­ва ран­га мат­ри­цы: ранг об­ра­ти­мой мат­ри­цы, ранг транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цы, ранг про­из­ве­де­ния мат­риц.

Ли­ней­ная за­ви­си­мость и не­за­ви­си­мость сис­тем век­то­ров над по­лем. Ли­ней­ная вы­ра­жае­мость сис­тем век­то­ров. Кри­те­рии ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти и ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти. Ба­зис и ранг сис­те­мы век­то­ров. Сов­па­де­ние ран­га сис­те­мы век­то­ров с ран­гом со­став­лен­ной из них мат­ри­цы.

Раз­дел 3. Системы ли­ней­ных урав­не­ний над полем. Системы ли­ней­ных неравенств

Ос­нов­ные по­ня­тия: ре­ше­ние, со­вме­ст­ность. Кри­те­рии со­вме­ст­но­сти, кри­те­рии един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния со­вме­ст­ной сис­те­мы урав­не­ний. Рав­но­силь­ные сис­те­мы урав­не­ний.

Опи­са­ние мно­же­ст­ва ре­ше­ний со­вме­ст­ной сис­те­мы урав­не­ний. Ме­тод Га­ус­са. Пра­ви­ло Кра­ме­ра.

Од­но­род­ные сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний. Фун­да­мен­таль­ная сис­те­ма ре­ше­ний и ее свой­ст­ва. Связь ме­ж­ду ре­ше­ния­ми ас­со­ции­ро­ван­ных сис­тем урав­не­ний. След­ст­вие из сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний. Опор­ные ре­ше­ния сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний.

Кри­те­рий то­го, что­бы со­вме­ст­ная сис­те­ма ли­ней­ных урав­не­ний над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел име­ла не­от­ри­ца­тель­ное ре­ше­ние.

Све­де­ние сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств к сис­те­ме ли­ней­ных урав­не­ний. След­ст­вие из сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств. Тео­ре­ма Мин­ков­ско­го. Кри­те­рий со­вме­ст­но­сти сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств.

Раз­дел 4. Коль­ца и по­ля

От­но­ше­ние де­ли­мо­сти в коль­це це­лых чи­сел, его свой­ст­ва. Де­ле­ние с ос­тат­ком. НОД чи­сел и ал­го­ритм Евк­ли­да его вы­чис­ле­ния. Свой­ст­ва НОД. Вза­им­но про­стые чис­ла. НОК чи­сел.

Про­стые чис­ла и их свой­ст­ва. Тео­ре­ма Евк­ли­да. Ос­нов­ная тео­ре­ма ариф­ме­ти­ки.

По­строе­ние по­ля ком­плекс­ных чи­сел. Гео­мет­ри­че­ское пред­став­ле­ние и три­го­но­мет­ри­че­ская фор­ма за­пи­си ком­плекс­ных чи­сел. Фор­му­ла Му­ав­ра-Ла­п­ла­са. Из­вле­че­ние кор­ня из ком­плекс­но­го чис­ла. Кор­ни из еди­ни­цы. Со­пря­же­ние чис­ла.

От­но­ше­ние срав­ни­мо­сти це­лых чи­сел по мо­ду­лю дан­но­го на­ту­раль­но­го чис­ла и его свой­ст­ва. Вы­че­ты и опе­ра­ции над ни­ми, коль­цо вы­че­тов. Об­ра­ти­мые эле­мен­ты коль­ца вы­че­тов. Кри­те­рий то­го, что­бы коль­цо вы­че­тов бы­ло по­лем.

Урав­не­ния в коль­це вы­че­тов и срав­не­ния. Ре­ше­ние срав­не­ний пер­вой сте­пе­ни с од­ним не­из­вест­ным.

По­строе­ние коль­ца мно­го­чле­нов от од­но­го пе­ре­мен­но­го над коль­цом с еди­ни­цей. Ка­но­ни­че­ская за­пись мно­го­чле­на. Сте­пень мно­го­чле­на, сте­пень сум­мы и про­из­ве­де­ния мно­го­чле­нов.

От­но­ше­ние де­ли­мо­сти в коль­це мно­го­чле­нов, его свой­ст­ва. Де­ле­ние с ос­тат­ком. Зна­че­ние и ко­рень мно­го­чле­на. Тео­ре­ма Безу. Мно­го­член как функ­ция. Про­из­вод­ная мно­го­чле­на.

Коль­цо мно­го­чле­нов над по­лем. НОД мно­го­чле­нов и ал­го­ритм Евк­ли­да его вы­чис­ле­ния. Свой­ст­ва НОД. Вза­им­но про­стые мно­го­чле­ны и их свой­ст­ва. НОК мно­го­чле­нов.

Не­при­во­ди­мые мно­го­чле­ны над по­лем и их свой­ст­ва. Ка­но­ни­че­ское раз­ло­же­ние мно­го­чле­на. Кри­те­рий от­сут­ст­вия крат­ных мно­жи­те­лей в ка­но­ни­че­ском раз­ло­же­нии. Чис­ло кор­ней мно­го­чле­на над по­лем. Про­стые и крат­ные кор­ни. По­ня­тие по­ля раз­ло­же­ния.

Не­при­во­ди­мые мно­го­чле­ны над по­ля­ми комплексных, дей­ст­ви­тель­ных и ра­цио­наль­ных чи­сел. Ме­то­ды оты­ска­ния ра­цио­наль­ных кор­ней, при­знак Эй­зен­штей­на. Сте­пе­ни не­при­во­ди­мых мно­го­чле­нов над ко­неч­ным по­лем

Раз­дел 5. Груп­пы

Оп­ре­де­ле­ние груп­пои­да, при­ме­ры. Го­мо­мор­физм и изо­мор­физм груп­пои­дов. Кон­гру­эн­ция. Фак­тор­груп­по­ид. Тео­ре­ма об эпи­мор­физ­ме.

Оп­ре­де­ле­ние и при­ме­ры групп: це­лые чис­ла, ад­ди­тив­ная груп­па коль­ца, муль­ти­п­ли­ка­тив­ная груп­па коль­ца с еди­ни­цей, груп­па кор­ней из

еди­ни­цы, груп­па об­ра­ти­мых мат­риц. Груп­па би­ек­ций. Эк­ви­ва­лент­ные оп­ре­де­ле­ния груп­пы.

Груп­па под­ста­но­вок. Тео­ре­ма Кэ­ли, след­ст­вия. Раз­ло­же­ние под­ста­нов­ки в про­из­ве­де­ние цик­лов и транс­по­зи­ций. Чет­ные и не­чет­ные под­ста­нов­ки, тео­ре­ма о дек­ре­мен­те.

По­ня­тие и при­ме­ры под­групп. Кри­те­рий то­го, что­бы под­мно­же­ст­во груп­пы бы­ло под­груп­пой, слу­чай ко­неч­ной груп­пы. Под­груп­па чет­ных под­ста­но­вок. Пе­ре­се­че­ние под­групп. Про­из­ве­де­ние (сум­ма) под­групп. Пря­мая сум­ма под­групп абе­ле­вой груп­пы.

Под­груп­па, по­ро­ж­ден­ная под­мно­же­ст­вом. Сис­те­мы об­ра­зую­щих груп­пы под­ста­но­вок и груп­пы чет­ных под­ста­но­вок. По­ня­тие цик­ли­че­ской груп­пы.

По­ря­док эле­мен­та груп­пы. По­ря­док под­ста­нов­ки. Экс­по­нен­та груп­пы.

Раз­ло­же­ние груп­пы в смеж­ные клас­сы. Тео­ре­ма Ла­гран­жа. Раз­ло­же­ние груп­пы в клас­сы со­пря­жен­ных эле­мен­тов. Нор­ма­ли­за­тор под­мно­же­ст­ва и центр груп­пы. Кри­те­рий со­пря­жен­но­сти под­ста­но­вок. Урав­не­ние Ко­ши.

Кон­гру­эн­ции на груп­пе и нор­маль­ные де­ли­те­ли. Свой­ст­ва нор­маль­ных де­ли­те­лей. Фак­тор­груп­пы. Тео­ре­ма об эпи­мор­физ­ме.

Пря­мое про­из­ве­де­ние групп.

Ор­би­ты и ста­би­ли­за­то­ры эле­мен­та от­но­си­тель­но груп­пы под­ста­но­вок.

Тран­зи­тив­ные и крат­но тран­зи­тив­ные груп­пы. Лем­ма Берн­сай­да. Ли­ней­ные и аф­фин­ные груп­пы над ко­неч­ны­ми по­ля­ми.

При­ми­тив­ные и им­при­ми­тив­ные груп­пы. Кри­те­рий при­ми­тив­но­сти. Не­ко­то­рые ус­ло­вия сов­па­де­ния груп­пы под­ста­но­вок с сим­мет­ри­че­ской груп­пой.

Опи­са­ние цик­ли­че­ских групп и их под­групп. Сум­ма и пе­ре­се­че­ние под­групп цик­ли­че­ской груп­пы. Раз­ло­же­ние ко­неч­ной цик­ли­че­ской груп­пы в пря­мую сум­му при­мар­ных цик­ли­че­ских под­групп. Функ­ция Эй­ле­ра и ее вы­чис­ле­ние. Об­ра­ще­ние тео­ре­мы Ла­гран­жа для цик­ли­че­ских групп.

Кри­те­рий цик­лич­но­сти абе­ле­вой груп­пы. Тео­ре­ма о строе­нии ко­неч­ной абе­ле­вой груп­пы.

Тип ко­неч­ной абе­ле­вой груп­пы и ее под­груп­пы. Об­ра­ще­ние тео­ре­мы Ла­гран­жа для ко­неч­ной абе­ле­вой груп­пы.

Раз­дел 6. Век­тор­ные про­стран­ст­ва

По­ня­тие и при­ме­ры век­тор­ных про­странств. Ос­нов­ные то­ж­де­ст­ва. Ли­ней­но за­ви­си­мые и не­за­ви­си­мые сис­те­мы век­то­ров. Ли­ней­ная вы­ра­жае­мость сис­тем век­то­ров. Эк­ви­ва­лент­ные сис­те­мы век­то­ров. Ба­зис и ранг сис­те­мы век­то­ров.

Ко­неч­но­мер­ные век­тор­ные про­стран­ст­ва, ос­нов­ные свой­ст­ва, ба­зис и раз­мер­ность. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра. Фор­му­ла пре­об­ра­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат. Чис­ло ли­ней­но не­за­ви­си­мых сис­тем век­то­ров в ко­неч­ном про­стран­ст­ве.

Изо­мор­физм про­странств оди­на­ко­вой раз­мер­но­сти над од­ним по­лем.

По­ня­тие и при­ме­ры под­про­странств. Кри­те­рий то­го, что­бы под­мно­же­ст­во про­стран­ст­ва бы­ло под­про­стран­ст­вом. Опе­ра­ции над под­про­стран­ст­ва­ми; под­про­стран­ст­во, по­ро­ж­ден­ное под­мно­же­ст­вом.

Раз­мер­ность и ба­зис под­про­стран­ст­ва ко­неч­но­мер­но­го про­стран­ст­ва. Со­от­но­ше­ние ме­ж­ду раз­мер­но­стя­ми сум­мы и пе­ре­се­че­ния под­про­странств. Чис­ло под­про­странств в ко­неч­ном про­стран­ст­ве.

Раз­дел 7. Ли­ней­ные пре­об­ра­зо­ва­ния век­тор­ных про­странств

Ли­ней­ные ото­бра­же­ние и пре­об­ра­зо­ва­ния век­тор­ных про­странств. Ли­ней­ные пре­об­ра­зо­ва­ния ко­неч­но­мер­ных про­странств. Мат­ри­ца ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Коль­цо и век­тор­ное про­стран­ст­во ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. Об­ра­ти­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Чис­ло об­ра­ти­мых пре­об­ра­зо­ва­ний ко­неч­но­го про­стран­ст­ва.

Соб­ст­вен­ные век­то­ры и соб­ст­вен­ные зна­че­ния ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ха­рак­те­ри­сти­че­ская мат­ри­ца и ха­рак­те­ри­сти­че­ский мно­го­член мат­ри­цы и пре­об­ра­зо­ва­ния. Оты­ска­ние соб­ст­вен­ных век­то­ров пре­об­ра­зо­ва­ния. Кри­те­рий по­до­бия мат­ри­цы над по­лем диа­го­наль­ной мат­ри­це.

Под­про­стран­ст­во, ин­ва­ри­ант­ное от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния. Ог­ра­ни­че­ние пре­об­ра­зо­ва­ния на ин­ва­ри­ант­ном под­про­стран­ст­ве. При­во­ди­мые и раз­ло­жи­мые мат­ри­цы пре­об­ра­зо­ва­ния.

Мно­го­чле­ны, ан­ну­ли­рую­щие пре­об­ра­зо­ва­ние. Тео­ре­ма Га­миль­то­на-Кэ­ли. Раз­ло­же­ние про­стран­ст­ва в пря­мую сум­му ин­ва­ри­ант­ных под­про­странств с по­мо­щью ан­ну­ли­рую­ще­го мно­го­чле­на. Кор­не­вые под­про­стран­ст­ва.

Ми­ни­маль­ный мно­го­член мат­ри­цы и пре­об­ра­зо­ва­ния. Ми­ни­маль­ный мно­го­член век­то­ра.

Мат­ри­цы над коль­цом мно­го­чле­нов, эле­мен­тар­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. Ка­но­ни­че­ская фор­ма мат­ри­цы и ее един­ст­вен­ность. Ин­ва­ри­ант­ные де­ли­те­ли и мно­жи­те­ли.

Кри­те­рий по­до­бия мат­риц над по­лем.

Жор­да­но­вы мат­ри­цы, их свой­ст­ва. Кри­те­рий по­до­бия мат­ри­цы жор­да­но­вой мат­ри­це. Един­ст­вен­ность жор­да­но­вой фор­мы мат­ри­цы.

Раз­дел 8.Евк­ли­до­вы и уни­тар­ные про­стран­ст­ва

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние и евк­ли­до­во про­стран­ст­во. Про­цесс ор­то­го­на­ли­за­ции. Мат­ри­ца Гра­ма.

Уни­тар­ное про­стран­ст­во. Изо­мет­рия евк­ли­до­вых и уни­тар­ных про­странств оди­на­ко­вой раз­мер­но­сти.

Гео­мет­рия евк­ли­до­вых и уни­тар­ных про­странств: ор­то­го­наль­ное до­пол­не­ние, нор­ма век­то­ра, ор­то­нор­ми­ро­ван­ные сис­те­мы век­то­ров, ос­нов­ные не­ра­вен­ст­ва, рас­стоя­ние и угол ме­ж­ду век­то­ра­ми

Пре­об­ра­зо­ва­ние, со­пря­жен­ное к дан­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию, его свой­ст­ва. Нор­маль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния и их свой­ст­ва. Нор­маль­ная мат­ри­ца.

Са­мо­со­пря­жен­ные и ор­то­го­наль­ные (уни­тар­ные) пре­об­ра­зо­ва­ния: вид мат­ри­цы, оп­ре­де­ляю­щие свой­ст­ва. Мат­ри­ца пе­ре­хо­да от од­но­го ор­то­нор­ми­ро­ван­но­го ба­зи­са к дру­го­му.

Гео­мет­ри­че­ские свой­ст­ва ор­то­го­наль­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, ор­то­го­наль­ная груп­па. Кри­те­рий су­ще­ст­во­ва­ния ор­то­го­наль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния, пе­ре­во­дя­ще­го од­ну сис­те­му век­то­ров в дру­гую

Раз­дел 9. Квад­ра­тич­ные фор­мы

Квад­ра­тич­ная фор­ма и ее мат­ри­ца. Эк­ви­ва­лент­ные квад­ра­тич­ные фор­мы. Ка­но­ни­че­ский вид квад­ра­тич­ной фор­мы.

Нор­маль­ные ви­ды квад­ра­тич­ной фор­мы над по­ля­ми ком­плекс­ных и дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. За­кон инер­ции Силь­ве­ст­ра. Кри­те­рии эк­ви­ва­лент­но­сти квад­ра­тич­ных форм над по­ля­ми ком­плекс­ных и дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.

По­ло­жи­тель­но и от­ри­ца­тель­но оп­ре­де­лен­ные квад­ра­тич­ные фор­мы над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Кри­те­рий Силь­ве­ст­ра. Ор­то­го­наль­ная эк­ви­ва­лент­ность квад­ра­тич­ных форм. Па­ра форм