Дифференциальное исчисление функции

К У Р С

В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И

Краткий конспект лекций

ЧАСТЬ 2

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда Дифференциальное исчисление функции - student2.ru тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru ,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Уравнение касательной к кривой: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Уравнение нормали к кривой: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения Дифференциальное исчисление функции - student2.ru при условии, что это отношение существует.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

2)(xm)¢ = mxm-1; 10) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

3) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 11) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

4) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 12) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

5) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 13) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

6) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 14) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

7) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 15) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

8) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 16) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Тогда Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Наши рекомендации