Раздел 3. дифференциальное исчисление

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции

Задание 83.Найти производные функций:

1. а) y=x⁵-4x -2x+3; б) y=x^2.cosx; в) y= ;

2. а) y=x⁷+2x⁴- +5; б) y=x^{3 .} 5^x ; в) y=ln(x²+cos3x) ;

3. а) y=2x⁸-3x²+ -2; б) y=tgx ^. e^x; в) y= ;

4. а) y=x⁴-5x³+2^x; б) y= ; в) y=sin(1-5x²);

5.а) y=3x⁶+5x⁴-x+7; б) y=x^{7 .} ctgx; в) y=arcsin7x;

6. а) y=4x⁵-x²+ +4; б) y= ; в) y=arctg ;

7.а) y=2x⁵+x⁴-x+3; б) y=x⁵ _' 4^x; в) y=arccos(6x-3);

8.а) y=x¹⁰-3x⁵+4x-2; б) y= ; в) y=ln(2+5x);

9. a) y=x⁸+4x²-9x+5; б) y=x³ _' lnx; в) y=2^sinx;

10. а) y=4x⁷-5x³-x+1; б) y= _' tgx; в) y=e^cos3x;

11. а) y=7x⁵+ 2x³-3 ; б) y= ; в) y=ln(1-7x+x²);

12. а) y=5x⁴-2x²+ -1; б) y=x³_' sin2x; в) y= ;

13. а) y=9x⁵+3x⁴-7x+2; б) y=log x_' 4^x; в) y=tg(4x+3);

14. а) y=2x⁶-7x³+4 ; б) y= ; в) y=2arctg7x;

15. а) y=5x⁷+4x+3 ; б) y=x⁴_'sinx; в) y=ln(1+sinx);

16. а) y=sinx+3x²-5; б) y= ; в) y=tg(2x-1);

17. а) y=x⁷-2x³+4x-1; б) y=x⁵_' lnx; в) y=arccos7x;

18. а) y=3x⁴+5x - ;б) y=x³_' cosx; в) y=9ctg(5-x);

19. а) y=4x³+5x²-3; б) y= ; в) y= ;

20. а) y=x⁶+9x³-7x+2; б) y=x⁴_' cosx; в) y=log (4x+3);

21. а) y=3x⁷+2x⁴-9; б) y= ; в) y=e ;

22. а) y=2^x+3x²+4x-1; б) y=x³_' cosx; в) y=ln(x-sin2x);

23 .а) y=x⁵-2x⁴+9x-7; б) y=x⁵_' sinx; в) y= ;

24. а) y=3x⁸-7x³+5; б) y=x⁴_'5^x; в) y=tg(9x+4);

25. а) y=4x⁷-2x+8; б) y= ; в) y=sin(5+lnx);

26. а) y=x⁸-4x³+6x-2; б) y=x⁴_' e^x; в) y=arctg(2x+3);

27. а) y=6x-1+4^x; б) y=x⁵_' sinx; в) y= ;

28. а) y=4x⁸-9x+3; б) y= ; в) y=sin(5+ln2x);

29. а) y=9x²+6x-4; б) y=x⁶_' cosx; в) y=(5+sinx) ;

30. а) y=5x³-4x²+3x-6; б) y= ; в) y=(4x+tg3x).

Задание 84.График функции y=f(x) изображен на рисунке:

Чему равна производная этой функции в точке x₀ ?

Задание 85. Найти уравнение касательной к графику функции в точке (1;1).

Задание 86. Закон движения материальной точки имеет вид х(t)=12t³+2t+4, где х(t) – координата точки в момент времени t. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t=1.

Дифференциал функции и его применение

Задание 87. Найти дифференциал функции:

а) у = sin 5x; б) у = 5х² - 7х + 3.

Задание 88. Найти приближенное значение выражений:

а) ; б) ; в)

Задание 89.Найти приближенно значение выражений:

а) cos 61⁰; б) ln 1,04; в) tg 46⁰; г)e^-0,04.

Правило Лопиталя

Задание 90.Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

1. ; ;
2. ; ;
3. ; ;
4. ; ;
5. ; ;
6. ; ;
7. ; ;
8. ; ;
9. ; ;
10. ; ;
11. ; ;
12. ; ;
13. ; ;
14. ; ;
15. ; ;
16. ; ;
17. ; ;
18. ; ;
19. ; ;
20. ; ;
21. ; ;
22. ; ;
23. ; ;
24. ;
25. ; .
26. ; .
27. ; ;
28. ; ;
29. ; ;
30. ; .

Исследование функций и построение графиков

Задание 91. На каком из рисунков

1) 2) 3) 4)

изображен график функции, удовлетворяющей на отрезке [a;b] одновременно двум условиям: у меняет знак, ?

Задание 92. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a;b] одновременно выполняются три условия: у>0, <0, >0:

1) 2) 3) 4)

Задание 93.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Задание 94.Найти точки перегиба графика функции

Задание 95.Найти асимптоты графиков функций:

а); б) у = .

Задание 96.Функция y=f(x) задана на отрезке . Укажите количество точек экстремума функции, если график её производной имеет вид

Задание 97.На рисунке изображен график производной функции y=f(x), заданной на отрезке .

Определить точку максимума этой функции.

Задание 98. Дан график производной непрерывной функции, заданной на отрезке :

В какой точке эта функция принимает наименьшее значение?

Задание 99.Исследовать функции и построить их графики:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

Задание 100.Найтинаименьшее значение функции f(х) на отрезке .