Тема 2. Дифференцирование функции.

1.Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

2. Найти производную функции .

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции

5. Найти производную функции

6. Найдите производную третьего порядка функции .

Найдём производную первого порядка:

.

Далее производная второго порядка примет вид:

Производная третьего порядка:

Тема 3.Нахождение дифференциала функции

Дифференциаломфункции (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента :

. (3.1)

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: . Поэтому дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента:

(3.2.)

Дифференциалом второго порядканазывается дифференциал от дифференциала первого порядка:

, (3.3)

т. е. дифференциал второго порядка функции равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.

1. Найдите дифференциалы первого порядка.

а) ;

;

б) ;

.

2. Найдите дифференциалы второго порядка.

а) ;

;

;

;

б)

;

;

Тема 4.Интегрирование функции.

Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна :

, . (4.1)

Операция отыскания первообразной функции по заданной ее производной или по дифференциалу называется интегрированием.

Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределённым интеграломи обозначается символом . Таким образом,

, (4.2)

если .

Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Таблица 2

Таблица интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Методы интегрирования функций:

1. Непосредственное интегрирование.Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Если подынтегральная функция не является табличной, то после применения свойств 4 и 5 данный интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

2. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки).Сущность интегрирования способом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения, выраженные через и , имеем .

После того как интеграл относительно новой переменной будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной .

3. Интегрирование по частям. Если , - дифференцируемые функции, то справедлива формула .

С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного

Методы интегрирования функции сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному. Необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Для того чтобы проверить правильно ли найден интеграл, необходимо найти производную от получившейся функции и получить подынтегральное выражение.

При вычислении интегралов часто используется формула .

Пример 1.

.

Пример 2.

В этих примерах также можно использовать метод замены переменной.

Интегрирование по частямсостоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и , затем, после нахождения и , используется формула интегрирования по частям.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1. Интегралы вида , , , где – многочлен, k – число. Удобно положить , а за обозначить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида , , , , . Удобно положить , а за обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида , , где а и b – числа. За можно принять функцию .

При нахождении интегралов (а-г) используется непосредственное интегрирование. Интегралы (б-г) также можно найти методом замены переменной. Интеграл (е) находится интегрированием по частям.

1. Найдите интегралы.

1)

(свойства 4 и 5, формулы 1 и 2);

2)

(формула сокращённого умножения, свойства 4 и 5, формулы 1 и 2);

3) (формула 5);

4) (формула 13);

5) (свойство 5, формула 14);

6)

7)

8)

9) .

Положим . Тогда т.е. Подставляя в формулу, получим

10) .

Положим . Тогда . Подставляя в формулу .