Разрешимые группы и их простые свойства

Определение 2.1.1. Конечная группа называется разрешимой, если обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Поскольку при уплотнении нормального ряда с абелевыми факторами нормальными подгруппами получается нормальный ряд с абелевыми факторами, то определение конечной разрешимой группы можно сформулировать следующим образом.

Определение 2.1.2. Конечная группа называется разрешимой, если обладает главным рядом с абелевыми факторами.

Поскольку любой главный ряд группы можно уплотнить до композиционного ряда, а факторы композиционного ряда являются простыми группами (в частности, простая абелева группа — это в точности группа простого порядка), то определение конечной разрешимой группы можно сформулировать следующим образом.

Определение 2.1.3. Конечная группа называется разрешимой, если обладает композиционным рядом с факторами простого порядка.

Рассмотрим еще один подход к определению разрешимой группы, справедливый и для бесконечных групп. Для этого рассмотрим определение ряда коммутантов группы, а также свойства -го коммутанта группы.

Определение 2.1.4. Ряд коммутантов группы определяется следующим образом: (1).

Замечание 2.1.1. Поскольку коммутант группы является ее нормальной подгруппой, то ряд (1) является нормальным.

Лемма 2.1.1 (Свойства k-го коммутанта группы). Пусть — группа, . Тогда:

1) для любого .

2) для любого .

3) Пусть . тогда и только тогда, когда и — абелева.

Определение 2.1.5. 1) Группа называется разрешимой, если для некоторого , то есть если ряд коммутантов группы обрывается на единичной подгруппе.

2) — множество всех разрешимых групп.

Теорема 2.1.1 (Свойства разрешимых групп).

1) Всякая подгруппа разрешимой группы является разрешимой.

2) Всякая факторгруппа разрешимой группы является разрешимой.

3) Если , , , то .

4) Если , , , то .

5) Если , , то — элементарная абелева -группа для некоторого .

6) Если , , то для некоторого .

7) Если , , то для некоторого , .

Доказательство. 1) Пусть , . Тогда , такой, что . Так как , то по лемме 1.2.1 , и значит, . Следовательно, для некоторого , поэтому .

2) Пусть , . Тогда , такой, что . Учитывая лемму 1.1(2), . Следовательно, .

3) Пусть , , . Тогда , такие, что и . По лемме 1.2.1 получаем, что и . Так как и , то и, согласно лемме 1.2.2, . Следовательно, .

4) Пусть , , . По теореме 1.2.1(1) . Так как , то по теореме 1.2.1(3) , и значит, можно рассматривать . По теореме 2.1.1(3) . Так как , то . Тогда по лемме 1.2.3 .

5) Пусть , . Так как — главный фактор группы , то по определению 2.1.1 — абелева. Поскольку , то по теореме 1.2.2

— характеристически простая группа, и по теореме 1.2.3 — прямое произведение изоморфных простых групп. Так как — абелева, то для некоторого , и значит, — элементарная абелева -группа по определению 1.1.1.

6) Пусть , . Тогда — простая абелева группа. Следовательно, , и значит, .

Теорема доказана.

Лемма 2.1.2. Нильпотентные группы разрешимы.

Доказательство. Пусть — нильпотентная группа и <· . По Следствию 1.2.4., подгруппа нормальна и | : | — простое число. По теореме 1.2.4.

≤ . Если теперь < · , то опять

, | : | — простое число и

≤ 0 ≤ . Пусть

= — каноническое разложение числа и = + + ... + .

Тогда и — разрешимая группа ступени не выше . Лемма доказана.

Теорема 2.1.2. 1. Главные факторы разрешимой неединичной группы

являются элементарными абелевыми примарными группами.

2. Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Доказательство. 1. Пусть — главный фактор группы . Тогда — минимальная нормальная подгруппа факторгруппы . Поэтому — элементарная абелева примарная группа по (1).

2. Пусть — композиционный фактор группы . Тогда K — наибольшая нормальная подгруппа в и — простая группа по теореме 1.2.5. Так как разрешима, то отлична от своего коммутанта, поэтому абелева и по теореме 1.2.6, имеет простой порядок.