Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».

Лабораторная работа №1: «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления».

Задание:

1) Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.

2) Отделить корни графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.

Вар.№1: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Вар.№2: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Вар.№3: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Вар.№4: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Вар.№5: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Вар.№6: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Образец выполнения задания:

1) Отделить корни аналитически.

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru .Обозначим, Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Находим корень производной: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Составим таблицу знаков функции f(x),полагая х равным: 1) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним; 2) граничным значениям (исходя из области определения функции):

X
Sign f(x) + - +

Так как происходят две перемены знака функции, то уравнение имеет два действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так, чтобы их длина была не больше 1. Для этого составим новую таблицу функции f(x):

x -1
Sign f(x) + - - +

Отсюда видно, что корни заключены в следующих промежутках:

х1Î[-1;0],x2Î[1;2].

2) Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,001.

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Составим таблицу знаков функции f(x):

X -1 3/4
Sign(x) + - - - +

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня:

х1Î(-¥;-1];x2Î[1;+¥).

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

x -2 -1
Sign f(x) + - - +

Следовательно, х1Î[-2;-1]; х2Î[1;2]. Уточним один из корней, например х1Î[-2;-1], методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

n an(+) bn(-) xn= Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru f(xn)
-2 -1 -1,5 -3,5625
-2 -1,5 -1,75 0,3633
-1,75 -1,5 -1,63 -1,8140
-1,75 -1,63 -1,69 -0,7981
-1,75 -1,69 -1,72 -0,2363
-1,75   -1,72 -1,73 -0,0406
-1,75 -1,73 -1,74 0,1592
-1,74 -1,73    

Ответ: х1»-1,73.

3) Отделить корни графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru .

Перепишем уравнение в виде: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Обозначим Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

построим графики этих функций и увидим, что уравнение имеет два корня: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Уточним первый из них методом половинного деления:

n an(+) bn(-) xn= Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru f(xn)  
 
1,5 1,25 -0,59033  
1,25 1,125 -0,264823  
1,125 1,0625 -0,089197  
1,0625 1,03125 0,00162  
1,03125 1,0625 1,046875 -0,044033  
1,03125 1,046875 1,039063 -0,021267  
1,03125 1,039063 1,035156 -0,009838  
1,03125 1,035156 1,033203 -0,004113  
1,03125 1,033203 1,032227 -0,001247  
1,03125 1,032227 1,031738 0,000186  
1,031738 1,032227 1,031982 -0,00053  
1,031738 1,031982 1,03186 -0,000172  
1,031738 1,03186 1,031799 7,1E-06  

Ответ: х1»1,03.

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».

  1. Метод хорд.

Образец выполнения задания.

1.Отделить корни графически уточнить один из них методом хорд до 0,001.

tg( 0,55x+0,1)=x2

Обозначим у1= tg( 0,55x+0,1) у2=x2

Составим таблицу значений:

X 0,2 0,4 0,6 0,8
Y2=X2 0,04 0,16 0,36 0,64
0,55x+0,1 0,1 0,21 0,32 0,43 0,54 0,65
Y1 0,100335 0,213142 0,331389 0,458621 0,59943 0,760204

Построим график:

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

Видим, что хÎ[0,6;0,8].

Чтобы уточнить его методом хорд, определим знаки функции на концах отрезка

[0,6;0,8] и знак её второй производной в этом промежутке:

f(0,6)=tg0,43-0,36=0,0986

f(0,8)=tg0,54-0,64=-0,0406

f’(x)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x

f’’(x)=0,55×2cos-3(0,55x+0,1)×sin(0,55x+0,1)×0,55-2<0 при хÎ[0,6;0,8].

f’’(x)× f(0,8)>0, значит х0=0,6

Для вычислений используем формулу:

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru , где b=0,8, x0=0,6.

Вычисления производим в таблице:

n xn Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru
0,60000 -0,14168
0,74168 -0,0081
0,74978 -0,00039
0,75017 -1,9E-05
0,75019 -8,9E-07

Ответ: х»0,750.

2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом хорд до 0,001.

f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5

f’(x)=3x2-0,4x+0,5 D=0,16-6<0

Составим таблицу знаков f(x):

x - Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru -1 + Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru
Sign f(x) - - + +

Получаем один действительный корень в промежутке [-1; 0].

Чтобы уточнить его, найдём Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru , в промежутке [-1; 0] Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru ,

f’’(a)× f(х)>0, значит х0=b=0.

Вычисления произведём по формуле:

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru ,

где a=-1, х0=b=0, f(a)= f(-1)-1-0,2-0,5+1,5=-0,2.

Вычисления производим в виде таблицы:

n xn xn3 xn2 0,2xn2 0,5xn f(xn) f(xn)+0,2 xn-a h
1,5 1,7 -0,11765
-0,88235 -0,68695 0,77855 0,15571 -0,44118 0,21616 0,41616 0,11765 -0,05654
-0,94346 -0,83979 0,89012 0,17802 -0,47173 0,01045 0,21045 0,05654 -0,05373
-0,94627 -0,84731 0,89543 0,17909 -0,47313 0,00047 0,20047 0,05373 -0,05361
-0,94639                

Ответ: х»-0,946

  1. Метод касательных (Ньютона).

Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru , где x0=a, если f(a)×f’’(x)>0; x0=b, если f(b)×f’’(x)>0 на [a;b].

1-е задание: tg(0,55x+0,1)=x2 , где хÎ[0,6;0,8] (см. решение выше).

Так как f(0,6)>0,f(0,8)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х0=0,8. Вычисления производим по формуле: Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru

f’(0,8)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x=-0,8523.

Вычисления производим в виде таблицы:

n xn Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru f’(x)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru
0,8 -0,04057 -0,85238 0,047597
0,752403 -0,001724 -0,77961 0,002211
0,750192 0,00000 -0,77619 0,00000

Ответ: х»0,750

2-е задание: f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5 f’(x)=3x2-0,4x+0,5

Так как f(0)>0,f(-1)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х0=-1.

n xn f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5 f’(x)=3x2-0,4x+0,5 Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных». - student2.ru
-1 -0,2 3,9 -0,05128
-0,94872 -0,008281 3,579684 -0,00231
-0,9464 -0,00000 3,565608 -0,00000

Ответ: х»-0,946

Самостоятельно: 1) x-sinx=0,25; x3-3x2+9x-8=0

2) tg(0,58x+0,1)=x2 ; x3-6x2-8x=0

3) tg(0,4x+0,4)=x2; x3-0,1x2+0,4x-1,5=0

4) lnx-7/(2x+6)=0; x3-3x2+9x+2=0

5) tg(0,5x+0,2)=x2 ; x3+0,2x2+0,5x-1,2=0

Лабораторная работа №4:

Наши рекомендации