Применения определенных интегралов.

Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Применения определенных интегралов. - student2.ru ;

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Или

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Построим графики линий и найдем точки пересечения:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Тогда площадь фигуры вычислится по формуле

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Дополнительные примеры

Вар 1. а) Применения определенных интегралов. - student2.ru , б) Применения определенных интегралов. - student2.ru , в) Применения определенных интегралов. - student2.ru , г) Применения определенных интегралов. - student2.ru ;

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Сначала из неправильной дроби сделаем правильную:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Возьмем производную от знаменателя:

Применения определенных интегралов. - student2.ru . Заметим, что Применения определенных интегралов. - student2.ru

Окончательно преобразуем у:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Тогда наш интеграл будет таким:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Однотипные логарифмы можно привести и тогда получим:

Применения определенных интегралов. - student2.ru Это ответ.

Замечание. Можно было разложить выражение на простейшие

Применения определенных интегралов. - student2.ru

И сразу получить окончательный ответ.

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Такой интеграл часто встречается, поэтому удобней решить его в общем виде:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Тогда наш интеграл будет таким:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Преобразуем:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Тогда наш интеграл будет равен

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Вариант 1

1. Упростить выражение Ø

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания у стрелков соответственно равны 0,7; 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что попадет третий стрелок, а первый и второй промахнутся.

P(попадет третий стрелок, а первый и второй промахнутся)=

=0,9*0,3*0,4=0,108

3. Из артиллерийской установки произведено 5 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Определить:

· вероятность получить не менее одного попадания;

P(получить не менее одного попадания)=

1-P(ноль попаданий)=1-0,25 =1-0,00032=0,99968

· наиболее вероятное число попаданий.

Применения определенных интегралов. - student2.ru

k  
P(k)
F(x)
0,00032 0,00032
0,0064 0,00672
0,0512 0,05792
0,2048 0,26272
0,4096 0,67232
0,32768

4 - наиболее вероятное число попаданий. И математическое ожидание также равно np=4.

4. Дан ряд распределения случайной величины Х.

Применения определенных интегралов. - student2.ru -2
Применения определенных интегралов. - student2.ru 0,2 0,15 0,3 0,35

Найти:

· интегральную функцию распределения;

Найдем интегральную функцию распределения по ряду:

X Pk F(x)
-2 0,2 0,2
0,15 0,35
0,3 0,65
0,35

· вероятность неравенства Применения определенных интегралов. - student2.ru ;

P( Применения определенных интегралов. - student2.ru )=0 из ряда распределения.

· Применения определенных интегралов. - student2.ru .

Еx (в книгах обозначается Мх)= Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Эти вычисления иллюстрируются таблицей:

X Pk F(x) X*pk Pk*(X-Mx)^2
-2 0,2 0,2 -0,4 6,728
0,15 0,35 0,6 0,006
0,3 0,65 1,5 0,432
0,35 2,1 1,694
Summ=     3,8 8,86

Построить многоугольник распределения и график функции F(x).

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

5. Дана интегральная функция распределения

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Определить f(x). Найти вероятность попадания случайной величины Х на отрезок Применения определенных интегралов. - student2.ru и математическое ожидание.

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Отдельное задание по теории вероятностей:

Из колоды в 36 карт потеряли 3. После этого из оставшихся 33 карт вытащили 4. Какова вероятность того, что эти 4 карты представляют разные масти?

Решение.

A=4 карты представляют разные масти.

H1= потеряли 3 карты и все разных мастей. P(H1)=(27/35)*(18/34)

H2= потеряли 3 карты: 2 одной масти, а 1 другой. P(H2)=3*(8/35)*(27/34)

H3= потеряли 3 карты и все одной масти. P(H3)= (8/35)*(7/34)

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Далее по формуле полной вероятности.

P(A)= )=(27/35)*(18/34)*PH1(A)+ 3*(8/35)*(27/34)* PH2(A)+ (8/35)*(7/34)* PH3(A)=

В урне 6 красных и 4 зеленых шара. Какова вероятность того,что два наугад выбранных шара будут разного цвета?

A= два наугад выбранных шара будут разного цвета.

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

1. Вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна 0.4 независимо от дня сдачи. Студент делает не более трех последовательных попыток сдать экзамен(следующая попытка предпринимается при неуспехе предыдущей ) .Какова вероятность того ,что студент сдаст экзамен?

А= студент сдал экзамен.

A1= студент сдал экзамен с первой попытки.

A2= студент сдал экзамен со второй попытки.

A3= студент сдал экзамен с третьей попытки.

Очевидно, что Применения определенных интегралов. - student2.ru . Так как события А1, А2 и А3 несовместны, то Применения определенных интегралов. - student2.ru сама сосчитай.

2. Три студента (Иванов, Петров, и Семенов) сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятность того, что Иванов сдаст экзамен, равна 0.6 , Петров-0.5 ,Семенов-0.4 Двое студентов сдали экзамен ,а один не сдал. Что вероятнее: сдал Семенов или не сдал?

А= Двое студентов сдали экзамен ,а один несдал.

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru Очевидно, что Применения определенных интегралов. - student2.ru . По формуле полной вероятности находим Применения определенных интегралов. - student2.ru . Уточним первую гипотезу по формуле Бэйеса: Применения определенных интегралов. - student2.ru . По первой гипотезе Семенов не сдал экзамен (при остальных сдал). Вероятность этой гипотезы при наступлении события А меньше половины. Следовательно, вероятнее, что Семенов сдал.

3. При въезде в новое помещение в осветительную сеть было включено 5 электроламп. Каждая лампа в течение года перегревает с вероятностью 0.6 Определить вероятность того, что количество перегоревших за год ламп будет не менее двух и не более трех. Для DCB –количество перегоревших в течение года ламп построить ряд распределения и график ФР.

Данная ДСВ, очевидно имеет биномиальное распределение и вероятности считаются по формуле Применения определенных интегралов. - student2.ru . В нашем случае p=0,6 q=1-p=0,4 n=5. Имеем ряд распределения:

X Pk F(x)
0,01024 0,01024
0,0768 0,08704
0,2304 0,31744
0,3456 0,66304
0,2592 0,92224
0,07776

Построим график функции распределения:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

4. Задана HCB: F(x)=B+A arctg(x) Найти A, B, p(x) проверить ,имеется и у этой HCB MO определить верояность P(-1<X<1). Построить график ФР и ПР. Показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Так как Применения определенных интегралов. - student2.ru , то Применения определенных интегралов. - student2.ru или Применения определенных интегралов. - student2.ru , откуда Применения определенных интегралов. - student2.ru . Так как Применения определенных интегралов. - student2.ru , то, дифференцируя, имеемРаспределение Коши.

Плотность распределения:

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Функция распределения:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Математическое ожидание в обычном смысле не существует, так как несобственный интеграл

Применения определенных интегралов. - student2.ru в данном случае расходится. Действительно, Применения определенных интегралов. - student2.ru

Очевидно, что такой интеграл расходится.

Но в СМЫСЛЕ ГЛАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ математическое ожидание существует и равно нулю. Действительно:

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Дисперсия распределения Коши не существует (бесконечна). Если интеграл Применения определенных интегралов. - student2.ru расходится, то интеграл Применения определенных интегралов. - student2.ru и подавно расходится.

Вероятность попадания в интервал для распределения Коши вычисляется обычным образом. Например,

Применения определенных интегралов. - student2.ru

В условиях задачи 6 найти ПР(y) CB Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru

Определим области по y, различающиеся количеством обратных функций:

Применения определенных интегралов. - student2.ru Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru . Подставим в формулу Смирнова: Применения определенных интегралов. - student2.ru

Применения определенных интегралов. - student2.ru или Применения определенных интегралов. - student2.ru

11. Пятьчеловек садятся на пять стульев случайным образом, несмотря на то, что места для них были определены, но эти сведения не успели им передать к моменту занятия мест. Найти вероятность того, что никто из них не сел на предназначенное ему место.

Решение.

Эксперимент состоит в выборе пяти человек пяти мест. Очевидно, что общее число равновозможных исходов эксперимента равно Применения определенных интегралов. - student2.ru . Число mисходов, соответствующее наступлению интересующего нас события (благоприятных исходов) в данном случае обозначим Применения определенных интегралов. - student2.ru . Обозначим Применения определенных интегралов. - student2.ru - число благоприятных исходов в аналогичной задаче, где kчеловек выбирают каждый себе место из kмест. Обозначим Применения определенных интегралов. - student2.ru - число неблагоприятных исходов. Очевидно, что Применения определенных интегралов. - student2.ru . Легко видеть, что Применения определенных интегралов. - student2.ru . Действительно, два человека либо сидят на своих местах, либо оба не на своих. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что Применения определенных интегралов. - student2.ru , Применения определенных интегралов. - student2.ru . Подсчитаем теперь количество неблагоприятных исходов Применения определенных интегралов. - student2.ru . Четверо человек могут сесть каждый на свое место (один исход). Возможно, что двое сидят на своих местах, а остальные не на своих ( Применения определенных интегралов. - student2.ru исходов) Также возможно, что один человек сидит на своем месте, а трое не на своих ( Применения определенных интегралов. - student2.ru исходов). В результате имеем Применения определенных интегралов. - student2.ru . Проводя аналогичные рассуждения, получим Применения определенных интегралов. - student2.ru

Ответ Применения определенных интегралов. - student2.ru .

Наши рекомендации