Алгоритм поиска собственных векторов.

1. Вычислить определитель Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и приравнять к нулю - получится характеристическое уравнение.

2. Решить характеристическое уравнение Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , найти все собственные числа.

Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, так как по диагонали n элементов.

3. Подставить каждое конкретное Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru в характеристическую матрицу, и решить однородную систему Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Таких шагов может быть n. Каждый раз надо изменить диагональ и заново решить систему!

ФСР системы это и будет собственный вектор для того Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Пример. Найти собственные числа и векторы для Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Далее, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Тогда уравнение Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Рещим это уравнение: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Получим Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Теперь подставим каждое Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и решим системы уравнений.

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru :

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , система: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Общее решение: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , вектор Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru :

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , система: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Общее решение: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , вектор Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Проверка:

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Никакого третьего собственного числа в этом примере быть не может, так как матрица порядка 2, и характеристическое уравнение степени 2.

Теорема 5. Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна.

Доказательство.

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , то есть 1-й столбец в матрице оператора это такие числа: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Аналогично Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , то есть 2-й столбец Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . И т.д.

Таким образом, получится матрица оператора: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Теорема 6. Следующее свойство (Ax,y) = (x,Ay) выполняется Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru матрица А симметрична (то есть Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru ).

Доказательство. Рассмотрим это равенство для базисных векторов: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Если оно выполняется для любой пары базисных векторов, то есть для любых индексов i, j .

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , как показано раньше, это i-й столбец матрицы линейного оператора. Если скалярно умножить его на Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , то есть на тот вектор, где все координаты 0 и только на месте j единица, - получим j - й элемент из i - го столбца, это Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru в матрице.

Аналогично, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru это i - й элемент из j - го столбца, то есть Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Таким образом, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru эквивалентно тому, что Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru для всех индексов i, j.

Определение. Если для линейного оператора Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , для любой пары векторов Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru верно Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , то Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru называется симметрическим оператором.

Лекция № 6. 07. 10. 2016

Теорема 7. Собственные векторы симметрического оператора, соответствующие разным Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , ортогональны.

Доказательство. Дано: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , пусть первый вектор собственный и соответствует Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , а второй Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . То есть верно: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Тогда Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru можно записать в виде Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , тогда Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , тогда Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Собственные числа разные, поэтому первый множитель не равен 0, тогда Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Скалярное произведение 0, векторы ортогональны.

Следствие. Для линейного оператора, матрица которого симметрична, существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов.

Квадратичные формы.

Билинейная форма, её задание с помощью матрицы.

Рассмотрим подробнее скалярное произведение типа Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , А - матрица некоторого линейного оператора. Произведение квадратной матрицы на столбец Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru это вектор-столбец, затем его скалярно умножаем на вектор Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , в итоге получится число. Таким образом, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru это некоторая скалярная функция от 2 векторов. Она линейна по каждому аргументу: если на 1 или 2 месте сумма векторов, то результат тоже представляется в виде суммы. Обозначим Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и назовём эту функцию билинейной формой.

Подробнее при n=2 :

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

При произвольном n: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru здесь n2 слагаемых.

Фактически, это обобщённое скалярное произведение. Обычное скалярное произведение можно задать таким же способом, но с единичной матрицей Е: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Это частный случай билинейной формы.

Теперь рассмотрим такой случай. Пусть билинейная форма вычисляется от 2 одинаковых векторов, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Обозначим Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и назовём эту функцию, отобрающую один вектор в число, квадратичной формой.

Квадратичная форма задаётся через скалярное произведение так: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Например, матрица Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru задаёт такую квадратичную форму:

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Очевидно, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , то есть эта группа из двух слагаемых Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru может быть объединена. Коэффициенты Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru и Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru распределить поровну. Так, Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru это то же самое, что Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Но ведь тогда матрицу квадратичной формы можно сделать симметричной, перераспределить эквивалентные элементы с сохранением их суммы. Таким образом, квадратичную форму всегда можно задать симметричной матрицей. Эта же самая квадратичная форма может быть задана и такой матрицей: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Пример.Построить матрицу квадратичной формы

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Решение.Распределим поровну коэффициенты:

Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru . Каждый коэффициент, стоящий при Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru , запишем на место Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

Ответ: матрица: Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru .

* Очевидно, если матрица диагональна, то Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru = Алгоритм поиска собственных векторов. - student2.ru квадратичная форма не содержит попарных произведений, а содержит только квадраты координат.

* Вспомним теорему 7 из прошлого §. Если матрица симметрична, то собственные векторы ортогональны.

* Вспомним также теорему 5 из прошлого §. Если в качестве нового базиса взять n собственных векторов, то матрица оператора в новом базисе будет диагональной.

Из всего сказанного следует, что квадратичную форму всегда можно привести к виду, не содержащему попарные произведения, а содержащему лишь квадраты, называется к «главным осям» (главные оси это направления, соответствующие собственным векторам).

Приведение к главным осям основано на поиске собственных чисел и векторов, примеры на эту тему решим подробно на практике.

Наши рекомендации