Домашнее задание

1) и 2) в тексте лекции.
3) Пользуясь первым свойством, вычислить первые 15 чисел Фибоначчи.
4) Пользуясь вторым свойством, вычислить любое число Фибоначчи не меньше 25-го.
5) Проверьте на практике свойства чисел ряда Фибоначчи 4-9. Приведите примеры. Доказательств приводить не надо.

К этому уроку можно выполнить курсовую работу на тему:
"Доказать 3 любых свойства (2-11) чисел ряда Фибоначчи"

Чи́сла Фибона́ччи — последовательность целых чисел Домашнее задание - student2.ru , заданная с помощью рекуррентногосоотношения

Домашнее задание - student2.ru .

Последовательность чисел Фибоначчи начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 … (Шаблон:OEIS)

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n. Ряд, соответствующий определению чисел Фибоначчи Домашнее задание - student2.ru : …, −55, 34, −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, …

<tr><th> Домашнее задание - student2.ru </td><td>-55</td><td>34</td><td>-21</td><td>13</td><td>-8</td><td>5</td><td>-3</td><td>2</td><td>-1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>5</td><td>8</td><td>13</td><td>21</td><td>34</td><td>55</td></tr> </table> Легко видеть, что Домашнее задание - student2.ru . Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств (но не все!).

n</td><td>-10</td><td>-9</td><td>-8</td><td>-7</td><td>-6</td><td>-5</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td>
Содержание [показать]

Формула Бине Домашнее задание - student2.ru Править

Формула Бине выражает в явном виде значение Домашнее задание - student2.ru как функцию от Домашнее задание - student2.ru :

Домашнее задание - student2.ru ,

где Домашнее задание - student2.ru — золотое сечение. При этом Домашнее задание - student2.ru и Домашнее задание - student2.ru являются корнями квадратного уравнения Домашнее задание - student2.ru .

Из формулы Бине следует, что для всех Домашнее задание - student2.ru , Домашнее задание - student2.ru есть ближайшее к Домашнее задание - student2.ru целое число, то есть Домашнее задание - student2.ru . В частности, справедлива асимптотика Домашнее задание - student2.ru .

Тождества Домашнее задание - student2.ru Править

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Домашнее задание - student2.ru

§ Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: Домашнее задание - student2.ru , то есть

Домашнее задание - student2.ru , а также Домашнее задание - student2.ru ,

где матрицы имеют размер Домашнее задание - student2.ru , Домашнее задание - student2.ru — мнимая единица.

§ Для любого n,

Домашнее задание - student2.ru

Эта формула даёт быстрый алгоритм вычисления чисел Фибоначчи.

§ Подсчёт определителей даёт

Домашнее задание - student2.ru

Свойства Домашнее задание - student2.ru Править

§ Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. Домашнее задание - student2.ru . Следствия:

§ Домашнее задание - student2.ru делится на Домашнее задание - student2.ru тогда и только тогда, когда Домашнее задание - student2.ru делится на Домашнее задание - student2.ru (за исключением Домашнее задание - student2.ru ). В частности, Домашнее задание - student2.ru делится на Домашнее задание - student2.ru (то есть является чётным) только для Домашнее задание - student2.ru ; Домашнее задание - student2.ru делится на Домашнее задание - student2.ru только для Домашнее задание - student2.ru ; Домашнее задание - student2.ru делится на Домашнее задание - student2.ru только для Домашнее задание - student2.ru и т. д.

§ Домашнее задание - student2.ru может быть простым только для простых Домашнее задание - student2.ru (с единственным исключением Домашнее задание - student2.ru ) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — Домашнее задание - student2.ru . Неизвестно, бесконечное ли количество чисел Фибоначчи являющихся простыми.

§ Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, еёхарактеристический многочлен Домашнее задание - student2.ru имеет корни Домашнее задание - student2.ru и Домашнее задание - student2.ru .

§ Отношения Домашнее задание - student2.ru являются подходящими дробями золотого сечения Домашнее задание - student2.ru и, в частности, Домашнее задание - student2.ru .

§ Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

Домашнее задание - student2.ru .

§ В 1964 J. H. E. Cohn доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: Домашнее задание - student2.ru , Домашнее задание - student2.ru , Домашнее задание - student2.ru , Домашнее задание - student2.ru . При этом для n=0,1,12 верно утверждение Домашнее задание - student2.ru .

§ Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

Домашнее задание - student2.ru

§ Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений полинома

Домашнее задание - student2.ru ,

на множестве неотрицательных целых чисел Домашнее задание - student2.ru и Домашнее задание - student2.ru (P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p.193).

§ Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

§ Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры — с периодом 1500, по четыре — с периодом 15000, по пять — с периодом 150000, по шесть — с периодом 1500000.

Наши рекомендации