Операции с векторами в пространстве
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
______________________________________________________
Дисциплина: МАТЕМАТИКА 1/2,
МАТЕМАТИКА 1/3,
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Специальность (направление): все
Форма обучения: все
Форма контроля: зачет, экзамен
ВОПРСЫ для подготовки к зачету (ЭКЗАМЕНУ)
1. . Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости
a. Системы координат на плоскости.
b. Векторы и линейные операции над ними.
c. Проекция вектора на ось.
d. Разложение вектора на компоненты.
e. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.
f. Преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии.
g. Прямая линия на плоскости.
h. Направляющий вектор.
i. Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.
j. Уравнение окружности.
k. Основные задачи на прямую и окружность.
l. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.
2. Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве
a. Векторы в пространстве.
b. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.
c. Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.
d. Уравнение плоскости.
e. Уравнение прямой в пространстве.
f. Уравнение сферы.
g. Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве.
h. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
3. Матрицы и детерминанты
a. Обобщение понятия "вектор".
b. Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы.
c. Произведение строки на столбец.
d. Произведение матрицы на столбец.
e. Произведение матриц.
f. Свойства линейных операций над матрицами.
g. Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта.
h. Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу).
i. Единичная матрица.
j. Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы.
k. Вырожденная матрица. Ранг матрицы.
4. Системы линейных алгебраических уравнений.
a. Связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
b. Матрица и расширенная матрица СЛАУ.
c. Вырожденные и невырожденные СЛАУ.
d. Теорема Кронекера-Капелли.
e. Решение невырожденной СЛАУ обращением матрицы.
f. Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера.
g. Решение вырожденных СЛАУ..
h. Однородные СЛАУ.
5. Элементы теории множеств.
a. Понятие множества.
b. Точечные и числовые множества.
c. Основные операции над множествами.
d. Декартово произведение множеств.
e. Соответствие между множествами.
f. Мощность множества.
6. Алгебраические структуры.
a. Алгебраические операции на множестве.
b. Свойства операций.
c. Группа. Примеры.
d. Кольцо. Примеры.
e. Поле. Примеры.
7. Числовые множества. Комплексные числа
a. Натуральные числа.
b. Кольцо целых чисел.
c. Поле рациональных чисел.
d. Поле действительных чисел.
e. Определение комплексного числа.
f. Поле комплексных чисел.
g. Алгебраические операции с комплексными числами.
h. Модуль и аргумент комплексного числа.
i. Геометрическое представление комплексных чисел.
j. Формула Эйлера.
k. Понятие о функции комплексного переменного.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Операции с векторами на плоскости.
Даны векторы 
и
. Найти:
1.1. длины этих векторов;
1.2. 
;
1.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
Операции с векторами в пространстве
Даны векторы 
и 
. Найти:
2.1. длины этих векторов;
2.2. 
;
2.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
3. Векторное и смешанное произведение векторов.
3.1. Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах 
(1;0;1), 
(4;-1;-1), 
(1;0;1).
4. Прямые и окружности на плоскости.
4.1. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
4.2. Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой 
на оси OY.
4.3. Даны уравнения прямых:
а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x
Какие из заданных прямых параллельны?
4.4. Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
4.5. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой
3у+4х-12=0 с осями координат.
4.6. Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.
4.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
4.8. Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х2 +у2=25.
4.9. Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0.
4.10. Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).
4.11. Определить координаты центра окружности, заданной уравнением 
.
4.12. Составить уравнение касательной к окружности 
в точке (3;–1).
4.13. Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
5. Кривые второго порядка .
5.1. Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2=900.
5.2. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у .
5.3. Определить, какая кривая задается уравнением:
· 
;
· 
;
· 
;
· 
.
6. Прямые, плоскости и сферы.
6.1. Определить, какое из уравнений а) 2x-3y+z+1=0; б) x+2y-6=0; в) x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.
6.2. Найти координаты нормального вектора к плоскости 2·x-3·y+z-6=0.
6.3. Определить взаимное расположение прямых 
и
.
7. Поверхности второго порядка.
7.1. Определить, какая поверхность задаётся уравнением
· 
;
· 
;
· 
.
8. Определители (детерминанты).
Вычислить определители:
8.1. 
;
8.2. 
;
8.3. 
.