Лінійна залежність та незалежність системи векторів

Тема 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Лекція 2.1. Вектори на площині і у просторі. n-вимірний вектор і векторний простір. Скалярний векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування. Пряма на площині. Основні рівняння. Площина та пряма в просторі

Вектори на площині і у просторі. n-вимірний вектор і векторний простір

Лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначені для кожної множини (числа, многочленів, векторів, матриць). Самі операції різні, але їх властивості однакові.

Для того, щоб дати означення лінійного (векторного) простору розглянемо деяку множину L дійсних чисел (п-вимірний вектор), для яких визначені операції додавання і множення на число.

Означення. п-вимірним вектором називається упорядкована сукупність п дійсних чисел, які записуються у вигляді Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , де Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru - і-та компонента вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Два п-вимірних вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні компоненти, тобто Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , якщо Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Сумою двох векторів однакової розмірності п називається вектор Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент векторів, які додаються, тобто Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Добутком вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru на дійсне число Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru називається вектор Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , компоненти Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru якого дорівнюють добутку Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru на відповідні компоненти вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , тобто Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Лінійні операції над будь-якими векторами мають такі властивості:

1) Комутативність Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

2) Асоціативність ( Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru ) + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + ( Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru ).

3) Існує такий нульовий вектор Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , що Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru для " Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Î L.

4) Для " Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Î L існує вектор Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = - Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , такий, що Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

5) 1× Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

6) a(b Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru ) = (ab) Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

7) Розподільний закон (a + b) Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = a Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + b Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

8) a( Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru ) = a Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru + a Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Означення. Множина L називається лінійним (векторним) простором, а його елементи називаються векторами.

Властивості лінійних просторів.

1) У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.

2) Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.

3) Для кожного Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Î L справедлива рівність 0× Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = 0.

4) Для кожного a Î R і Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Î L справедлива рівність a× Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

5) Якщо a× Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , то a = 0 або Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

6) (-1) Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru = - Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Вектори та дії над ними

Величини називають скалярними (скалярами),якщо вони після вибору одиниць вимірювання повністю характеризуються одним числом.

Якщо деяка скалярна величина повністю визначається одним числом, що не залежить від вибору осей відліку, то тоді говорять про чистускалярну величину або про істинний скаляр.

Якщо деяка скалярна величина визначається одним числом, абсолютна величина якого не залежить від вибору осей відліку, а її знак залежить від вибору позитивного напрямку на осях координат, то тоді говорять про псевдоскалярнувеличину.

Величина називається вектором (векторною), якщо вона визначається двома елементами різної природи: алгебраїчним елементом - числом, що показує довжину вектора і скаляром, що є, і геометричним елементом, що вказує напрямок вектора.

Геометрично прийнято зображати вектор напрямленим відрізком. Знаючи координати початку і кінця вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru і Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , можна знайти координати вектора, зумовленого цими точками Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , тобто від координат кінця віднімають координати початку вектора.

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

Рис. 1.

Додавання і віднімання

Додавання і віднімання векторів здійснюють геометрично (рис.1.). Цей спосіб називають правилом трикутника.

Математично додавання записують Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru або Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , якщо мова йде про віднімання векторів (рис. 1).

Якщо в просторі задано кілька векторів, число яких більше двох, то операцію додавання (віднімання) записують як Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Геометрично цей спосіб називають правилом багатокутника.

Множення вектора на скалярну величину. При множенні вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru на скаляр a отримують новий вектор Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , що збігається по своєму типі з вихідним, довжина (модуль) якого змінюється в a разів, а напрямок збігається з напрямком вихідного вектора Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , якщо a > 0, або протилежний вихідному векторові, якщо a < 0. У координатній формі, якщо Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , те Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

Рис.2.

Два однаково напрямлених і паралельних вектори називають колінеарними.Колінеарні вектори можуть бути різної довжини

Два вектори Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru і Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru називають колінеарними, якщо існують такі два числа a і b, не рівні нулеві одночасно, що виконується рівність Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Три вектори Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru , Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru і Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru назвемо компланарними, якщо існують такі три числа a, b і g, не рівні одночасно нулеві, що виконується рівність Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку та кінця вектора. Якщо задано дві точки у просторі А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru .

Якщо М(х, у, z) ділить відрізокАВ у відношенні l/m, то координати цієї точки определяются как:

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

Частинним випадком є відшукання координат середини відрізка:

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

Лінійна залежність та незалежність системи векторів

Розглянемо систему з т п-вимірних векторів

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

За означенням дані вектори називаються лінійно залежними, якщо рівність

Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru

Можлива за умови, що хоча б одне з чисел Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru де Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru Якщо ж наведена рівність можлива лише за умови, Лінійна залежність та незалежність системи векторів - student2.ru то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивості поняття лінійної залежності:

1. якщо серед векторів є нульовий, то ці вектори лінійно залежні;

2. якщо вектори лінійно залежні, то після додавання до них одного чи кількох нових векторів дістанемо лінійно залежну систему векторів;

3. якщо вектори лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів дістанемо знову лінійно незалежні вектори;

4. вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших;

5. якщо два ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні, і навпаки;

6. якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні, і навпаки;

7. чотири (і більше) тривимірних вектори зажди лінійно залежні.

Наши рекомендации