Элементарные функции. Классификация функций

Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1. Степенная функция , n R.

Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени представлены ниже.

1) , n N. Графики функций, соответствующие показателям степени n=1, а также для n – четного и n – нечетного представлены на рисунке 14.

Рис. 14

2) , n N (рис. 15).

Рис. 15.

3) n N, n>1. Графики таких функций (два случая в зависимости от четности n) представлены на рисунке 16.

Рис. 16.

2. Показательная функция .

На рисунке 17 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

Рис. 17.

3. Логарифмическая функция .

Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям логарифма представлены на рисунке 18.

Рис. 18.

4. Тригонометрические функции:y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x; их графики представлены на рисунках 19-а, 19-б.

Рис.19-а

y=ctg x y=tgx

Рис. 19-б.

5. Обратные тригонометрические функции:y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.На рисунке 20 изображены графики обратных тригонометрических функций.

Рис. 20.

Функция называется элементарной, если она задана аналитически одной формулой у=f(x), составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа операций образования сложной функции.

Примеры элементарных функций:

; ; .

Примерами неэлементарных функций могут служить функции:

у = ; .

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином):

;

· дробно-рациональная функция – отношение двух полиномов;

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Преобразования графиков.

Если известен график функции у=f(x), то с помощью некоторых преобразований (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т.п.) можно построить графики более сложных функций.

1)График функции у=−f(x)получается из графика у=f(x)путем симметрии относительно оси Ох (рис. 21).

Рис. 21

2)График функции у=f(−x) получается из графика у=f(x)путем симметрии относительно оси Оу (рис. 22).

Рис. 22

3)График функции y=kf(x) получается из графика у=f(x) путем растяжения в «k» раз вдоль Оу, при k>1, а при 0<k<1 − путем сжатия в « » раз вдоль Оу На рисунке 23 преобразования такого рода рассмотрены на примере растяжения и сжатия синусоиды в 3 и 2 раза соответственно.

4) График функции y=f(kx) получается сжатием графика у=f(x) в «k» раз вдоль Ох, при k>1, а при 0<k<1 – растяжением графика у=f(x) в « » раз вдоль Ох. Данные преобразования продемонстрированы на рисунке 24 на примере преобразований синусоиды.

Рис. 23.

Рис. 24

5) График функции у=f(x+a)получается из графика у=f(x) параллельным переносом на |а|, при а>0 влево вдоль оси Ох, а при a<0 − вправо вдоль оси Ох (рис. 25).

Рис. 25

6) График функции y=f(x)+a, получается параллельным переносом графика у=f(x) на |а|, при a>0 вверх вдоль оси Оу, а при a<0 − вниз вдоль оси Оу (рис. 26).

Рис. 26

7)График функции y=|f(x)| получается из графика у=f(x) следующим образом: часть графика у=f(x), лежащая выше оси Ох остается, а лежащая ниже − симметрично отображается вверх относительно оси Ох (На рисунке 27-а изображен график функции у=f(x), а на рисунке 27-б − график функции y=|f(x)|).

8)График функции y=f(|x|) получается из графика у=f(x) путем следующих преобразований: часть графика у=f(x), лежащая правее оси Оу остается и симметрично отображается влево относительно оси Оу, остальная часть графика (лежащая левее оси Оу) отбрасывается. На рисунках 28-а и 28-б изображены графики функций у=f(x) и y=f(|x|) соответственно.

Рис. 27-а Рис. 27-б

Рис. 28-а Рис. 28-б