Векторный потенциал

Векторный потенциал Векторный потенциал - student2.ru (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).

В самом деле, если rot Векторный потенциал - student2.ru (М)= Векторный потенциал - student2.ru (М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M)=0, получаем rot( Векторный потенциал - student2.ru (М)+grad f(M)) = rot Векторный потенциал - student2.ru (М)+ rot grad f(M)= Векторный потенциал - student2.ru (М).

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле Векторный потенциал - student2.ru (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал Векторный потенциал - student2.ru (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:

Векторный потенциал - student2.ru (1)

при условии div Векторный потенциал - student2.ru =0 ( Векторный потенциал - student2.ru ).

Покажем как можно найти векторный потенциал Векторный потенциал - student2.ru (М). поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола примем Ax=0. Тогда система (1) примет вид

Векторный потенциал - student2.ru (2)

Таким образом, задача сводиться к определению функции Ay и Az, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div Векторный потенциал - student2.ru =0. Пусть М0(x0,y0,z0) – фиксированная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда W.

 
  Векторный потенциал - student2.ru

Рис. 6.

Рассмотрим функции

Ay(x,y,z)= Векторный потенциал - student2.ru Az(x,y,z)= Векторный потенциал - student2.ru (3)

Условие задания поля Векторный потенциал - student2.ru (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div Векторный потенциал - student2.ru =0 , получим , что обе функции Ay и Az, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, Векторный потенциал - student2.ru = Ах Векторный потенциал - student2.ru + Ay Векторный потенциал - student2.ru +Az Векторный потенциал - student2.ru , координаты Ay и Az определяются формулами (3). Для этого вектора Векторный потенциал - student2.ru выполняется условие rot Векторный потенциал - student2.ru = Векторный потенциал - student2.ru .

 
  Векторный потенциал - student2.ru

74. Найти векторный потенцал

для соленоидального поля, задаваемого вектором а = 2уi - zj + 2хk.

Ответы:

10. Область определения – круг x2+y2£9; линии уровня – семейство концентрических окружностей

x2+y2=9–с2 (|с| £ 3).

11. Поле определено во всем пространстве, за исключением точки r=0; поверхности уровня –сферы r=c c центром в точке, где находится заряд.

12.Поле определено в области z2+y2–x2³0;поверхности уровня – круговые конусы а2(z2+y2)–x2=0 (|а| £ 1).

13. Линии уровня u=c представляют собой семейство гипербол x2–y2=(–1)n arcsin c +pn, где n–целое число.

14. Поле определено во всем пространстве, за исключением плоскости z=0; поверхности уровня – параболоиды вращения x2 +y2=сz (–¥<c<¥).

15. а) –4 Векторный потенциал - student2.ru +2 Векторный потенциал - student2.ru –4 Векторный потенциал - student2.ru . б) 12 Векторный потенциал - student2.ruВекторный потенциал - student2.ru ; в) Векторный потенциал - student2.ru + Векторный потенциал - student2.ru .

16. Прямые, проходящие через начало координат.

17. x2 -y2=с; z=h.

18. x3 +y3=c1; z3 +y3=c2.

19. y=c1z; x2 +y2+ z2= c2y.

20. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора Векторный потенциал - student2.ru ; центры этих окружностей лежат на этой прямой.

22. Окружности с центром на оси Оy , проходящей через начало координат.

23. Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (0,0) совпадает с положительным направлением оси Оy.

24. 1) tgj »0,342, j »18052’; 2) tgj »4,87, j »78024’.

25. Отрицательная полуось оси Оy.

26. 1) cosa »0,99; a=80; 2) cosa » –0,199; a=101030’;

30. Ц= –pb2.

31. Ц= –p.

32. Ц= Векторный потенциал - student2.ru R6

33. а) Ц=2p; б) Y=2p.

39. Векторный потенциал - student2.ru .

40. Векторный потенциал - student2.ru

41.0.

42. 4pabc.

43. Векторный потенциал - student2.ru .

44. Векторный потенциал - student2.ru .

45. 1.

46. Векторный потенциал - student2.ru .

47. Векторный потенциал - student2.ru .

48. a) 4pa3; б) 0. Дополните поверхность S до замкнутой; в)0; г) p. Дополните поверхность S до замкнутой; д)0; е) Векторный потенциал - student2.ru ; ж) 3а4.

52. Векторный потенциал - student2.ru

53. Векторный потенциал - student2.ru .

60. а) rot Векторный потенциал - student2.ru = –2cos(2x–y–z)( Векторный потенциал - student2.ru +2 Векторный потенциал - student2.ru ); б) rot Векторный потенциал - student2.ru =x(z2-y2) Векторный потенциал - student2.ru + y(x2-z2) Векторный потенциал - student2.ru + z(y2-x2) Векторный потенциал - student2.ru ; в) rot Векторный потенциал - student2.ru = Векторный потенциал - student2.ru .

61. Векторный потенциал - student2.ru =20 Векторный потенциал - student2.ru +26 Векторный потенциал - student2.ru –24 Векторный потенциал - student2.ru .

62. Векторный потенциал - student2.ru .

63.–2a2 .

64. а) Ц=2p; б) Ц=0.

68. Векторный потенциал - student2.ru .

69. Векторный потенциал - student2.ru (x3+2y3+z3)+3xyz + c.

70. Векторный потенциал - student2.ru

71. Нет.

72. Потенциальными являются поля Векторный потенциал - student2.ru и Векторный потенциал - student2.ru .

73. Векторный потенциал - student2.ru (x,y,z)=xyz(x+y+z)+c, где с произвольная постоянная.

74. х2j + (хz + y2)k.

Литература

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. М.: Госкомвуз России, 2000.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II.- М.: Наука, 1984

4. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.

5. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.

6. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.

7. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.

9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.

10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. - М.: Высш. шк. ,1988.

11. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. – Кривой Рог, 1998.

12. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Изд – во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.

Наши рекомендации