Статистическая обработка результатов измерений

После внесения поправок на систематическую погрешность проводим статистическую обработку исправленных результатов измерений.

Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.

1.4.1 Статистическая обработка результатов измерений

1.4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое:

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

1.4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ( Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru )

Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙25=1, т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов вариационного ряда, т.е. результаты х1=10,000 мг/м3и х25=11,700 мг/м3.

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

1.4.1.3 Определяем медиану наблюдений ( Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru )

При n - нечётном:

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

1.4.1.4 Определяем центр размаха

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

1.4.1.5 Определяем серединный размах вариационного ряда

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru

где Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru и Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru − 25 % и 75 %квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 6 и 7; 20 и 21 результатами:

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru ,

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru ,

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru или Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90 %-ной выборки, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru = Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru = 11,021 мг/м3.

1.4.1.6 Дисперсию повторяемости исправленных значений результатов измерений Хi, В вычисляем по формуле (1.18):

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru , (1.18)

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru 1.4.2 Разделим вариационный ряд на интервалы

Число интервалов определяют, пользуясь формулой Старджесса:

k = 1 + 3,31∙lg n, (1.19)

k = 1 + 3,31∙lg 25 = 5.

Ширина интервала Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru вычисляется по формуле:

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru , (1.20)

Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru мг/м3.

Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.

Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 – Промежуточные значения интервального ряда

Граница интервалов xi – xi+1, мг/м3 Середины интервалов xi0 , мг/м3 Частота попадания в интервалы mi Статистическая вероятность (частность) Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru
9,620-10,075 9,847 0,080
10,075-10,529 10,302 0,160
10,529-10,984 10,756 0,280
10,984-11,438 11,211 0,160
11,438-11,893 11,666 0,320
  N 1,000

1.4.5 Определение закона распределения результатов измерений

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы (Приложение А, рисунок А.6).

По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений – двумодальный.

1.4.6 Определение дифференциальной функции распределения Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru

Вычислим дифференциальную функцию распределения Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала:

  Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru . (1.21)

А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г) [1], определим дифференциальную функцию Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru .

Используя свойство нормального распределения Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применяют зависимость

  Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru , (1.22)

где Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,450.

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:

  Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru . (1.23)

Окончательно все вычисления сведем в таблицу 1.7.

Таблица 1.7 – Вероятностные параметры распределений

Середины интервалов xi0, мг/м3 Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru
9,847 -1,801 0,790 0,551 0,0359 0,080
10,302 -1,103 0,2179 0,152 0,1357 0,240
10,756 -0,406 0,3668 0,256 0,3409 0,520
11,211 0,291 0,3825 0,267 0,6141 0,680
11,666 0,989 0,2444 0,171 0,8389 1,000

Для построения теоретической функции Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru воспользуемся Приложением В [3]. Графики эмпирической и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении А, на рисунке А.7.

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 1.8.

Таблица 1.8 – Параметры функций распределений первой группы наблюдений

Границы интервалов xi-xi+1, мг/м3 Сере- дины интерва- лов xio, мг/м3 Нормиро-ванный параметр Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Диф. функция норми- рован. нормал. распре-деления f(ti) Диф. функция в единицах выбранной величины Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Эмпири-ческая диф. функция Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Эмпири-ческая инте-гральная функция Статистическая обработка результатов измерений - student2.ru Норми- рованная инте- гральная функция F(x)=F(t)
9,620-10,0750 9,847 -1,801 0,790 0,551 0,080 0,080 0,0359
10,075-10,529 10,302 -1,103 0,2179 0,152 0,160 0,240 0,1357
10,529-10,984 10,756 -0,406 0,3668 0,256 0,280 0,520 0,3409
10,984-11,438 11,211 0,291 0,3825 0,267 0,160 0,680 0,6141
11,438-11,893 11,666 0,989 0,2444 0,171 0,320 1,000 0,8389

Наши рекомендации