Кинематика вращательного движения

Произвольное движение абсолютно твердого тела можно представить в виде суммы двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае движение тела можно рассматривать как движение материальной точки.

Вращательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела.

Изменение положения тела в пространстве при вращательном движении определяется углом поворота Кинематика вращательного движения - student2.ru тела относительно некоторого начального положения.

Угловая скорость Кинематика вращательного движения - student2.ru равна первой производной от угла поворота Кинематика вращательного движения - student2.ru тела по времени t:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Угловое ускорение ε равно первой производной от угловой скорости Кинематика вращательного движения - student2.ru тела по времени t:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Если материальная точка движется по окружности радиуса Кинематика вращательного движения - student2.ru с постоянной угловой скоростью Кинематика вращательного движения - student2.ru , то ее угловые и линейные характеристики движения связаны соотношениями:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Частные случаи вращательного движения.

· Равномерное вращение:

угловая скорость Кинематика вращательного движения - student2.ru ;

угловое ускорение ε = 0;

угол поворота изменяется по закону: Кинематика вращательного движения - student2.ru .

· Равнопеременное вращение:

угловое ускорение Кинематика вращательного движения - student2.ru ;

угловая скорость и угол поворота изменяются по законам:

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Знак ²+² соответствует равноускоренному, а знак ²─² — равнозамедленному вращению; Кинематика вращательного движения - student2.ru — угловая скорость тела в момент времени Кинематика вращательного движения - student2.ru = 0.

Период вращения Кинематика вращательного движения - student2.ru — время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения Кинематика вращательного движения - student2.ru — число оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Связь между периодом, частотой и угловой скоростью:

Кинематика вращательного движения - student2.ru , Кинематика вращательного движения - student2.ru

Динамика материальной точки

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

Кинематика вращательного движения - student2.ru

где Кинематика вращательного движения - student2.ru — равнодействующая сила, действующая на материальную точку; Кинематика вращательного движения - student2.ru — импульс, Кинематика вращательного движения - student2.ru — масса, Кинематика вращательного движения - student2.ru — скорость материальной точки.

Если масса тела постоянна, то

Кинематика вращательного движения - student2.ru ,

где Кинематика вращательного движения - student2.ru — ускорение, приобретаемое телом массой Кинематика вращательного движения - student2.ru под действием силы Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Закон Гука:

Fупр= ─ kDx,

где Fупр — сила упругости; k — коэффициент упругости или жесткость пружины; Dx — изменение длины пружины. Знак ²─² означает, что сила упругости направлена против изменения длины пружины.

Закон трения скольжения:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

где Fтр — сила трения скольжения; Кинематика вращательного движения - student2.ru – сила реакции опоры; Кинематика вращательного движения - student2.ru – коэффициент трения скольжения.

Сила тяжести:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

где m — масса тела; Кинематика вращательного движения - student2.ru – ускорение свободного падения.

Изменение импульса тела равно импульсу приложенных к нему сил:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Закон сохранения импульса: в изолированной системе векторная сумма импульсов входящих в нее тел остается постоянной:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Координата материальной точки меняется по закону: Кинематика вращательного движения - student2.ru Найти перемещение, путь и среднюю скорость движения материальной точки за время t = 2 c после начала движения. Построить график зависимости координаты от времени. A = 1 м; ω = π рад/с.

Решение:

График зависимости координаты Кинематика вращательного движения - student2.ru от времени t имеет вид:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис. 1

Величина перемещения материальной точки вдоль оси Кинематика вращательного движения - student2.ru равна:

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

где Кинематика вращательного движения - student2.ru — координата точки в начальный момент времени Кинематика вращательного движения - student2.ru , а Кинематика вращательного движения - student2.ru — в момент времени t = 2 c. Отсюда находим величину перемещения:

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Траекторией движения точки является отрезок прямой от –1 м до +1 м. Этот отрезок точка, как видно из графика (рис. 1), за время t = 2 c проходит дважды. Следовательно, путь Кинематика вращательного движения - student2.ru равен:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Средняя скорость движения по определению равна:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Здесь ΔS = S Δt = t.

Поэтому: Кинематика вращательного движения - student2.ru

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru

2. Камень брошен горизонтально с начальной скоростью Кинематика вращательного движения - student2.ru относительно поверхности земли. Найти уравнение траектории движения камня и радиус кривизны траектории в момент времени t.

Кинематика вращательного движения - student2.ru Решение:

Движение камня рассматриваем в системе отсчета, связанной с землей. Вдоль оси Кинематика вращательного движения - student2.ru камень по условию задачи движется равномерно со скоростью Кинематика вращательного движения - student2.ru . Поэтому координата меняется по закону:

Кинематика вращательного движения - student2.ru (1)

Вдоль оси Кинематика вращательного движения - student2.ru камень падает с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения g. Поэтому скорость камня вдоль оси Кинематика вращательного движения - student2.ru равна Кинематика вращательного движения - student2.ru gt, а координата Кинематика вращательного движения - student2.ru меняется по закону:

Кинематика вращательного движения - student2.ru (2)

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис. 2

Из уравнения (1) получаем: Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Подставив Кинематика вращательного движения - student2.ru формулу (2), получим уравнение траектории движения камня:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Радиус кривизны R траектории находим из определения нормального ускорения:

Кинематика вращательного движения - student2.ru ,

где Кинематика вращательного движения - student2.ru — полная скорость камня, равная

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Отсюда получаем радиус кривизны траектории:

Кинематика вращательного движения - student2.ru . (3)

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно вектору полной скорости Кинематика вращательного движения - student2.ru камня. С другой стороны, нормальное ускорение является составляющей полного ускорения, которое в данной задаче равно g. Из рис. 2 следует, что

Кинематика вращательного движения - student2.ru , а Кинематика вращательного движения - student2.ru . (4)

Поэтому Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Подставив (4) в (3), получаем:

Кинематика вращательного движения - student2.ru ,

или

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru , Кинематика вращательного движения - student2.ru .

2. Пушка стреляет под углом Кинематика вращательного движения - student2.ru к горизонту. Начальная скорость снаряда равна Кинематика вращательного движения - student2.ru . Найти максимальную высоту и дальность полета снаряда. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Разложим вектор скорости Кинематика вращательного движения - student2.ru на составляющие вдоль осей координат Кинематика вращательного движения - student2.ru и Кинематика вращательного движения - student2.ru (см. рис. 3): Кинематика вращательного движения - student2.ru (1)

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис.3

Движение снаряда вдоль оси Кинематика вращательного движения - student2.ru является равнопеременным, поэтому:

Кинематика вращательного движения - student2.ru , (2)

Кинематика вращательного движения - student2.ru (3)

Снаряд поднимается вверх, пока вертикальная составляющая его скорости Кинематика вращательного движения - student2.ru не станет равна нулю. Из уравнения (3) находим время подъема:

Кинематика вращательного движения - student2.ru (4)

Подставив (4) в (2), находим максимальную высоту подъема Кинематика вращательного движения - student2.ru :

Кинематика вращательного движения - student2.ru (5)

Снаряд, достигнув максимальной высоты подъема, опускается с ускорением свободного падения. Очевидно, что в этом случае:

Кинематика вращательного движения - student2.ru ,

где Кинематика вращательного движения - student2.ru — время падения снаряда.

Учитывая (4) и (5), получаем, что время падения снаряда равно времени его подъема. Полное время полета снаряда равно:

Кинематика вращательного движения - student2.ru (6)

За это время снаряд пролетит по горизонтали расстояние:

Кинематика вращательного движения - student2.ru . (7)

Подставив (1) в формулы (5), (6), (7), находим высоту и дальность полета снаряда: Кинематика вращательного движения - student2.ru

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru Кинематика вращательного движения - student2.ru

4. Вал токарного станка за 2 с приобретает угловую скорость ω = 628 рад/с. Считая вращение тела равноускоренным, найти угловое ускорение и число оборотов вала за это время.

Решение:

Кинематика вращательного движения - student2.ru Дано:

Кинематика вращательного движения - student2.ru Кинематика вращательного движения - student2.ru При равнопеременном вращении угол поворота тела и его угловая скорость меняются по закону:

Кинематика вращательного движения - student2.ru Кинематика вращательного движения - student2.ru

Из последнего соотношения: находим угловое ускорение:

Кинематика вращательного движения - student2.ru 314 (рад/с2).

Угол поворота тела:

Кинематика вращательного движения - student2.ru 628 (рад).

Число оборотов тела:

Кинематика вращательного движения - student2.ru 100 (оборотов).

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru

6. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол θ. Зависимость пройденного телом пути Кинематика вращательного движения - student2.ru от времени Кинематика вращательного движения - student2.ru дается формулой Кинематика вращательного движения - student2.ru , где Кинематика вращательного движения - student2.ru — константа. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Решение:

При движении тела на него действуют три силы: сила тяжести Кинематика вращательного движения - student2.ru , сила реакции опоры Кинематика вращательного движения - student2.ru и сила трения Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис. 4

Запишем основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) в виде:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Выберем ось Кинематика вращательного движения - student2.ru вдоль направления скорости тела, ось Кинематика вращательного движения - student2.ru — перпендикулярно ей, и спроецируем полученное уравнение динамики на эти оси:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Включим в эту систему уравнений закон трения скольжения

Кинематика вращательного движения - student2.ru

и формулу определения ускорения:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

В результате получим:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Решая эту систему, получаем:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru

5. Определить силу натяжения троса лебедки, поднимающей груз массой m с ускорением Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Решение:

Расставим на рисунке силы, действующие на груз. Эти силы — сила тяжести Кинематика вращательного движения - student2.ru и сила натяжения троса Кинематика вращательного движения - student2.ru . Запишем основное уравнение динамики в векторном виде:

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис. 5

Спроецируем это уравнение на выбранную ось Кинематика вращательного движения - student2.ru :

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

Решим полученное уравнение относительно Кинематика вращательного движения - student2.ru :

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru

10. Вагон массой m1, движущийся со скоростью Кинематика вращательного движения - student2.ru , нагоняет вагон массой m2, движущийся со скоростью Кинематика вращательного движения - student2.ru . Найти скорость вагонов после сцепки.

Решение:

а) До сцепки суммарный импульс вагонов был:

Кинематика вращательного движения - student2.ru ,

б) После сцепки стал:

Кинематика вращательного движения - student2.ru .

По закону сохранения импульса:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

или

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Проецируя это уравнение на направление движения вагонов, получаем:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Рис. 6

Отсюда:

Кинематика вращательного движения - student2.ru

Ответ: Кинематика вращательного движения - student2.ru

Наши рекомендации