II. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть гипотезы В₁, В₂, …, В_n образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в результате осуществления одной из гипотез . Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

(2)

где p(В₁) + p(В₂)+…+ p(В_n) = 1.

Допустим, произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Вероятности гипотез В_i после опыта, т.е. условные вероятности: р(А/В₁), р(А/В₂), …, р(А/В_n), вычисляются по формуле Байеса:

(3)

Эта формула позволяет оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Задача 1. После вакцинирования животное в период эпидемии заболевает с вероятностью 0,01, а не вакцинированное – 0,8. Вакцинировано 70% животных. Найти вероятность того, что во время эпидемии животное заболеет.

Решение. Обозначим событие А = {животное заболеет}. Возможны следующие гипотезы: В₁ = {животное вакцинировано}, В₂ = {животное не вакцинировано}. Гипотезы В₁, В₂ несовместны и образуют полную группу событий. По условию задачи вероятности этих гипотез: р(В₁) = 0,7, р(В₂) = 0,3. Условная вероятность того, что животное заболеет, если оно вакцинировано р(В₁/ А) = 0,01, а условная вероятность того, что животное заболеет, если оно не вакцинировано р(В₂/ А) = 0,8.

Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

р(А) = р(В₁)·р(В₁/ А) + р(В₂)·р(В₂/ А) = 0,7·0,01 + 0,3·0,8 = 0,247.

Ответ: р(А) = 0,247.

Задача 2. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Завод №1 выпускает 90% продукции отличного качества, завод №2 – 60%, а завод №3 – 80% продукции отличного качества. Извлеченная наудачу из ящика деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на заводе №2.

Решение. Обозначим событие А ={наудачу взятая из ящика деталь окажется отличного качества}. Возможны следующие гипотезы: В₁ = {деталь изготовлена на i-м заводе}, Гипотезы В₁, В₂, В₃ попарно несовместны и образуют полную группу событий. Поскольку в ящике всего 22+20+18 = 50 деталей, то по классической формуле вероятности:

9.5.

X \Y								nx
			-	-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-					-	-
	-	-	-			-
	-	-	-
ny								n=100

9.6.

X \Y								nx
			-	-	-	-	-
	-			-	-	-	-
	-	-				-	-
	-	-				-
	-	-	-
ny								n=100

9.7.

X \Y								nx
	-	-	-	-	-
	-	-	-
		-					-
	-					-	-
			-	-	-	-	-
ny								n=50

9.8.

X \Y								nx
	-	-	-	-
	-	-
	-					-	-
					-		-
			-	-	-	-	-
ny								n=100

9.9.

X \Y								nx
			-			-	-
				-	-		-
						-
	-				-		-
	-	-
ny								n=100

Задача 9. Линии регрессии.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице.

9.1.

X \Y								nx
			-	-	-	-	-
				-	-	-	-
	-	-				-	-
	-	-	-
	-	-	-	-	-	-
ny								n=50

9.2.

X \Y								nx
	-		-	-	-	-	-
				-	-	-	-
	-				-	-	-
	-	-				-	-
	-	-	-	-
ny								n=50

9.3.

X \Y								nx
	-	-	-	-	-
	-	-	-	-	-
	-	-				-	-
				-	-	-	-
			-		-	-	-
ny								n=50

9.4.

X \Y								nx
	-	-	-	-
	-	-
	-					-	-
						-	-
		-	-		-	-	-
ny								n=100

Условные вероятности того, что деталь окажется отличного качества, если она изготовлена на i-м заводе ( ) по условию задачи равны:

По формуле полной вероятности (2):

р(А) = 0,24∙0,9 + 0,4∙0,6 + 0,36∙0,8 = 0,744.

По формуле Байеса (3) найдем вероятность того, что извлеченная деталь изготовлена на заводе №2:

Ответ: р(В₂ /А) = 0,323.

III. Схема Бернулли