Потоки с ограниченным последействием

Сохраним стационарность и ординарность, но откажемся от требования об отсутствии последействия, Взамен потребуем, чтобы интервалы между требованиями Х были независимыми случайными величинами (см. рис.4.)

х₁ – время ожидания 1-го требования, а начиная с х_2, – интервал между требованиями.

(4.3)

Потоки, обладающие указанными свойствами, образуют класс потоков с ограниченным последействием. При этом последействие в потоке может быть, а может и не быть. Например, простейший поток принадлежит классу потоков с ограниченным последействием.

Если в потоке с ограниченным последействием все интервалы, кроме, может быть, первого, имеют одинаковое распределение, то такой поток называется потоком восстановления:

Потоки восстановления

Если в потоке с ограниченным последействием все интервалы, кроме, может быть, первого, имеют одинаковое распределение, то такой поток называется потоком восстановления.

Все интервалы, , имеют одинаковое распределение. Оговорка «кроме, возможно, первого» делается потому, что время между произвольно выбранным началом отсчета и первым требованием не является интервалом между требованиями. Таким образом, чтобы задать поток восстановления, надо задать распределение интервала между требованиями и, если это необходимо, распределение времени ожидания первого требования. Имея эти распределения можно вычислить все нужные характеристики потока.

Вначале найдем распределение времени появления n-го требования.

T_n-1 – время до поступления (n-1)-го требования,

T_n – время до поступления (n)-го требования

Найдем распределение Т

- распределение расстояния до n-го требования (n³2).

Найденная Функция распределения имеет рекуррентный характер, поэтому часто потоки восстановления называют рекуррентными потоками.

Теперь вычислим распределение числа требований на заданном интервале.

Пусть N_t – число требований, появившихся на интервале (о – t) (случайная величина).

Найдем вероятность P(N_t=n):

T_n+1

T_n

t t

... t_n-1 t_n t_n+1

(4.4)

Вычислим математическое ожидание числа требований на интервале:

(4.5)

- среднее число требований, пришедших на интервале t. Эту функцию t в теории потоков восстановления часто называют функция восстановления. А ее производную h(t) плотностью восстановления.

(4.6)

Потоки Эрланга

В качестве примера потоков восстановления рассмотрим, так называемые, потоки Эрланга, имеющие широкое хождение в теории массового обслуживания.

Для начала определим процедуру просеивания или разрежения потока, состоящую в том, что из входного потока, в соответствии с некоторым правилом (алгоритмом), производится удаление требований. Получившийся в результате поток называется просеянным или разреженным,илиредеющим.

Возьмем в качестве исходного простейший пуассоновский поток. Будем разрежать его, удаляя требования через одно. Получившийся в результате поток называется эрланговским потоком I-го порядка (Э₁). Если удалять по два требования, оставляя каждое 3-ее, то образованный таким образом поток будет эрланговским потоком второго порядка (Э₂).Наконец, если удалять подряд по «к» требований, оставляя каждое «к+1»-ое, то получится эрланговский поток порядка «к» (Э ).

Порядок Эрланговского потока определяется тем, сколько требований мы отбрасываем. Поэтому исходный простейший поток можно называть потоком Эрланга нулевого порядка (Э ).

Интервал между требованиями в потоке Эрланга к-го порядка представляет собой сумму «к» экспоненциально распределенных независимых слагаемых. Как известно, сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин подчинена Г-распределению.

Рассмотрим Г-распределение:

, где

- число слагаемых;

, где

- параметр 0-го Эрланговского потока – интенсивность исходного простейшего потока.

- гамма-функция;

Если верхний предел интеграла равен конечному числу, то это неполная гамма функция.

Свойства Г-функции:

1. - рекуррентная формула

2. Если a - целое, положительное, то

На этом основании часто говорят, что Г-функция - это обобщение факториала на не целые числа, т.к. факториал является частным случаем Г-функции.

3. .

4. Важным частным случаем Г-распределения является -распределение.ЭтоГ-распределение при .

Напишем плотность распределения Эрланга k-го порядка,

Внешне оно очень похоже на пуассоновское распределение, с той только разницей что впереди стоит сомножитель l. Однако, различие между ними принципиальное: в пуассоновском распределении переменная k, а в эрланговском – t.

Параметры эрланговского распределения не трудно найти, учитывая, что это распределение суммы независимых случайных величин числом к+1 :

С увеличением порядка дисперсия нарастает.

Можно нормировать Эрланговский поток изменяя, масштаб времени с увеличением порядка потока:

В нормированном потоке интенсивность постоянная, а будет уменьшаться с увеличением порядка потока.

При большой размерности нормированного потока, =0. Это означает, что с увеличением k интервал становиться все более определенным, уменьшается его рассеивание, т.е. происходит детерминирование случайногопотока.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы можно утверждать, что с ростом порядка потока распределение интервала между требованиями будет стремиться к нормальному, что видно из рисунка 7.

Другие типы потоков

4.5.1. Нормальный поток восстановления

Это поток, у которого все интервалы распределены по нормальному закону с одними и теми параметрами. Его можно рассматривать как предельный по отношению к эрланговском при неограниченном росте порядка последнего.

4.5.2. Регулярный детерминированный поток

Интервал между требованиями не случаен и одинаков. В модели его легко реализовать.