Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для теоретических исследований и практических выводов.

Статистические данные – набор числовых значений, представленных в виде выборки из генеральной совокупности Г, являющейся отображением реального явления в числовое множество.

Математическая статистика не раздел теории вероятностей, а самостоятельная наука со своими понятиями, методами и способами исследования. Изучает как случайные, так и детерминированные явления на основе более или менее обширного статистического материала.

Образно говоря, теория вероятностей, зная все о генеральной совокупности, изучает состав ее выборок. Математическая статистика решает обратную задачу: по изучению состава отдельных выборок пытается получить как можно больше информации о генеральной совокупности.

Основными понятиями математической статистики являются «генеральная совокупность», «выборка», «эмпирическая функция распределения» и «параметры распределения».

Рассмотрим случайный эксперимент, который описывается одномерной случайной величиной x. Множество всех возможных значений случайной величины x будем называть генеральной совокупностью G. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим совокупность n значений случайной величины x, которые обозначим Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru . Заметим, что среди этих чисел могут быть и равные.

Совокупность Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , называется выборкой, а число элементов, входящих в выборку, - ее объемом.

Если провести другую серию из n независимых повторений этого же эксперимента, то получится, вообще говоря, уже другая выборка значений случайной величины x. Поэтому в теоретических исследованиях выборка n значений случайной величины x представляется случайным вектором Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , где Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , - независимые случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве и имеющие одну и ту же функцию распределения Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , причем Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru - одно из возможных, заранее неизвестных, значений случайной величины x в i-ом повторении эксперимента.

Задачей исследования в математической статистике является построение математической модели случайного эксперимента, проверка адекватности модели изучаемому явлению и, в случае положительного ответа, прогнозирование появления события, как части явления. При построении математической модели предполагается, что выборка репрезентативна, то есть, любой элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

К основным задачам математической статистики относятся: 1) оценка функции распределения; 2) оценка неизвестных параметров; 3) проверка априорных предположений или статистических гипотез.

Пусть задана выборка

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Элементы выборки, представленные в порядке неубывания элементов, Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , причем Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , образуют вариационный ряд.

Размахом выборки Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru называется величина равная разности наибольшего и наименьшего элементов выборки, то есть,

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru ,

где Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Пусть в выборке Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru k различных элементов Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru . Числа Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , называются вариантами или наблюдениями. Число появлений варианты Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru называется абсолютной частотой Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Варианты и соответствующие им абсолютные частоты можно представить в виде таблицы, называемой статистическим рядом распределения (простой статистической таблицей) абсолютных частот:

x Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru
m Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Если на плоскости построить точки ( Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru ), Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , и соединить их отрезками прямых, то полученная ломанная называется полигоном абсолютных частот:

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Если x - непрерывная случайная величина, то весь диапазон ее значений делят на k интервалов (длины которых определяют по формуле Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru ) и подсчитывают количество Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , вариант, попавших в данный интервал. По абсолютным частотам каждого из интервалов находят относительные частоты Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru . Очевидно, Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Полученные интервалы и соответствующие относительные частоты Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru записывают в виде таблицы, называемой интервальным статистическим рядом распределения (интервальной статистической таблицей):

x Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru
w Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Графическим представлением интервального статистического ряда является гистограмма:

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Для ее построения по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом из них строят прямоугольники высотой Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Площадь гистограммы равна 1. В теории вероятностей гистограмме соответствует график плотности распределения вероятностей.

Замечание. На основании гистограммы можно построить полигон частот. Для этого достаточно соединить середины верхних сторон прямоугольников отрезками прямых. В этом случае непрерывную случайную величину можно рассматривать как дискретную, эмпирические значения которой совпадают с координатами Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Гистограмму и полигон частот используют для подбора модели распределения изучаемой случайной величины x.

Эмпирической функцией распределения Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru называется относительная частота события ( Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru ) в данной выборке значений случайной величины x, то есть, Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , где Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru - число Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru меньших x, Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru - объем выборки.

В силу закона больших чисел эмпирическая функция распределения Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru является оценкой подлинной функции распределения Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru при Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , поэтому функция Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru обладает свойствами в полнее аналогичными Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru :

1) Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru ;

2) функция Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru является неубывающей функцией;

3) если Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , то Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , если Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru , то Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru .

Функция Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru - ступенчатая, возрастает скачками, которые соответствуют наблюдениям, и равны относительным частотам этих значений:

Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки - student2.ru

Наши рекомендации