Знаходження рангу матриць.

2. Властивості визначників.

3. Обернені матриці, їх обчислення.

Методичні рекомендації

Ранг матриці.

Розглянемо прямокутну матрицю А розміру m Знаходження рангу матриць. - student2.ru n : A= Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Рангом матриці називається найвищий порядок мінора, що не дорівнює нулю.

Ціле число r >0 є рангом матриці А, якщо серед її мінорів r-го порядку є принаймні один, відмінний від нуля, а всі мінори, порядок яких більший, ніж r дорівнюють нулю.

Властивості рангу матриці:

1. Ранг матриці А порядку чисел m Знаходження рангу матриць. - student2.ru n не перевищує меншого з чисел m і n, тобто r Знаходження рангу матриць. - student2.ru

2. r Знаходження рангу матриць. - student2.ru =0 тоді і тільки тоді , A- нульова матриця

3. Ранг квадратної матриці А n-го порядку дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця А невиражена, тобто її визначник не дорівнює нулю.

Методи обчислення рангу матриці:

1. Метод окантування (за означенням ).

2. Метод, який полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці, до яких належать:

a) вилучення нульового рядка (стовпця);

b) множення всіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці на число, відмінне від нуля;

c) зміна порядку рядків (стовпців);

d) додавання до кожного елемента деякого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число;

e) транспортування матриці.

За допомогою елементарних перетворень матрицю можна звести до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості діагональних елементів, які не дорівнюють нулю.

Алгоритм обчислення рангу матриці. Знаходження рангу матриць. - student2.ru

1) Робимо так, щоб елемент Знаходження рангу матриць. - student2.ru ;

2) Всі елементи 1-го стовпця, що знаходяться під Знаходження рангу матриць. - student2.ru робимо рівними нулю;

3) Якщо в результаті перетворень отримали рядок чи стовпець, що містить всі нулі, то його вилучаємо;

4) Повторюємо дії пунктів 1-3 для кожного діагонального елемента (з однаковими індексами), доки не зведемо матрицю до діагонального вигляду.

Приклад. Обчислити ранг матриці A= Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Розв’язання. Знаходження рангу матриць. - student2.ru

1) Поміняємо 1-й і 2-й рядок місцями для того, щоб елемент Знаходження рангу матриць. - student2.ru ;

2) Щоб отримати в 1-му стовпці всі решта нулі, 1-й рядок помножимо на –1 і додамо до 3-го рядка; 1-й рядок помножимо на –2 і додамо до 4-го рядка;

3) Елемент Знаходження рангу матриць. - student2.ru . Щоб отримати нулі, 2-й рядок додамо до 3-го рядка; 2-й рядок помножимо на 3 і додамо до 4-го рядка;

4) Вилучимо нульові рядки.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Ранг матриці r Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Cистема m лінійних рівнянь з n невідомими.

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Теорема 1. (Кронекера-Капеллі ) Для того, щоб система m лінійних рівнянь з n невідомими була сумісною, необхідно і досить, щоб ранги її основної та розширеної матриці були рівні.

Теорема 2. (умова визначеності системи). Якщо система m лінійних рівнянь з n невідомими сумісна і ранг її основної матриці дорівнює r , то при r =n ця система визначена, а при r <n – невизначена.

Якщо система m лінійних рівнянь з n невідомими зведена до трикутного вигляду і число рівнянь такої системи S менше, ніж число невідомих n, тобто S < n, то розв’язки шукаємо так. Перші S невідомих Знаходження рангу матриць. - student2.ru які називають базисними, визначають через інші невідомі Знаходження рангу матриць. - student2.ru які називають вільними. Таким чином , стримують загальний розв’зок системи.

Властивості визначників

1. Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють 0, то і сам визначник дорівнює 0.

Це випливає з того, що співмножником у кожному з доданків цих формул (1), (2) є один елемент з кожного рядка і стовпця.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Приклад 1. 1 2 3

4 5 6 = 0

0 0 0

2. Якщо у визначнику поміняти місцями два сусідні рядки чи стовпці, то знаки таких визначників будуть протилежними, а їхні абсолютні величини рівними.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Приклад 2. 1 2 3 0 4 2

0 4 2 = 4 1 2 3 = -4

-1 2 0 -1 2 3

3. Визначник з двома однаковими рядками чи стовпцями дорівнює 0.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru 1 2 3

1 2 3 = 0 –6 + 6 + 6 - 6 = 0

-1 2 0

4. При транспонуванні визначника його значення не змінюється.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru 1 2 3 1 0 –1

0 4 2 = 4 2 4 2 = - 4 + 12 – 4 = 4

-1 2 0 3 2 0

5. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru 8 6 2 4 3 1 2 1 1

6 18 3 = 2·3·5 · 2 6 1 = 30·2·3 ·1 2 1 = 180(10– 6) = 720

10 15 10 2 3 2 1 1 2

6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює 0.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Приклад. 4 2 2 2 1 1

2 1 1 = 2· 2 1 1 = 2·0 = 0

-1 2 0 -1 2 0

7. Значення визначників не зміниться, якщо до будь-якого рядка додати інший, помножений на довільне число чи лінійну комбінацію інших рядків.

Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru 1 2 3 1 2 3 1 2 3

0 4 2 = 0 4 2 = 0 4 2 = 4

-1 2 0 0 4 3 0 0 1

Обернена матриця

Матриця А-1 називається оберненоюдо матриці А, якщо виконуються рівності: АА Знаходження рангу матриць. - student2.ru = А Знаходження рангу матриць. - student2.ru А=Е .

Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, то така матриця називається неособливою (невиродженою).

Теорема.Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і досить, щоб вона була невиродженою.

Алгоритм знаходження оберненої матриці

для заданої квадратної матриці А= Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

1. Знайти визначник матриці Знаходження рангу матриць. - student2.ru ;

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці А;

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці А;

4. Транспонувати матрицю з алгебраїчних доповнень; ця матриця

називається приєднаною (або союзною) і позначається Знаходження рангу матриць. - student2.ru ;

5. Поділити приєднану матрицю на визначник даної матриці.

Отже, Знаходження рангу матриць. - student2.ru — матриця, обернена до матриці А.

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

Розв’язання.

1) Знаходимо визначник матриці Знаходження рангу матриць. - student2.ru : Знаходження рангу матриць. - student2.ru = Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Оскільки Знаходження рангу матриць. - student2.ru , то обернена матриця існує.

2) Знаходимо алгебраїчні доповнення:

Знаходження рангу матриць. - student2.ru , Знаходження рангу матриць. - student2.ru ,

Знаходження рангу матриць. - student2.ru , Знаходження рангу матриць. - student2.ru ,

Знаходження рангу матриць. - student2.ru , Знаходження рангу матриць. - student2.ru ,

Знаходження рангу матриць. - student2.ru , Знаходження рангу матриць. - student2.ru , Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

3) Таким чином, Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

4) Транспортуємо матрицю Знаходження рангу матриць. - student2.ru і знаходимо Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

5) Отже, обернена матриця Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

Перевіряємо: Знаходження рангу матриць. - student2.ru Знаходження рангу матриць. - student2.ru = Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

Приклад 2. Знайти обернену матрицю для матриці Знаходження рангу матриць. - student2.ru

Розв’язання.

1) Обчислимо визначник цієї матриці:

Знаходження рангу матриць. - student2.ru .

Оскільки Знаходження рангу матриць. - student2.ru , тобто матриця Знаходження рангу матриць. - student2.ru вироджена, то оберненої для неї не існує.

Тести для самоперевірки:

1. Матрицею розміру Знаходження рангу матриць. - student2.ru називають

а) прямокутну таблицю чисел, яка містить Знаходження рангу матриць. - student2.ru рядків і Знаходження рангу матриць. - student2.ru стовпців;

б) прямокутна таблиця, складена з цілих чисел;

в) прямокутну таблицю чисел, яка містить Знаходження рангу матриць. - student2.ru рядків і Знаходження рангу матриць. - student2.ru стовпців;

г) прямокутну таблицю чисел, яка містить Знаходження рангу матриць. - student2.ru рядків і Знаходження рангу матриць. - student2.ru стовпців.

2. Квадратна матриця -

а) це матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців;

б) це матриця, всі елементи якої дорівнюють одиниці;

в) це матриця в якій m рядків і n стовпців;

г) інша відповідь.

3. Квадратна матриця називається діагональною, якщо

а) всі елементи головної діагоналі дорівнюють нулю,

б) всі елементи, розміщені поза головною діагоналлю, нулі;

в) матриця складається з одного стовпця;

г) інша відповідь.

4. При множенні двох матриць

а)рядки множать на стовпці;

б) стовпці на рядки;

в) рядки на рядки;

г) стовпці на стовпці.

5. Одиничною матрицею називається

а) діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої

дорівнюють одиниці,

б) матриця, всі елементи якої, що розміщені поза головною діагоналлю, дорівнюють одиниці;

в) матриця, що складається з одного стовпця;

г) інша відповідь.

6. Нульовою називають матрицю:

a) всі елементи якої, крім діагональних, дорівнюють нулю;

б) всі елементи якої дорівнюють нулю;

в) в якій число рядків дорівнює числу стовпців;

г) в якій елементи розміщені під головною діагоналлю дорівнюють нулю .

7.Множити можна тільки ті матриці, в яких

a) число стовпців першої дорівнює числу рядків другої;

б) число рядків першої дорівнює числу стовпців другої;

в) однакові розміри;

г) інша відповідь.

8.Різницею матриць Знаходження рангу матриць. - student2.ru і Знаходження рангу матриць. - student2.ru називається матриця, кожний елемент якої Знаходження рангу матриць. - student2.ru дорівнює:

а) різниці елементів і-го рядка матриці А та відповідних елементів j-го стовпця матриці В;

б) різниці відповідних елементів матриць А і В;

в) різниці добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В;

г) інша відповідь.

9.Рангом матриці називається

а) кількість рядків матриці;

б) найвищий порядок мінора, що дорівнює нулю;

в) найвищий порядок мінора, що не дорівнює нулю;

г) інша відповідь.

Наши рекомендации