Способом

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:

способом - student2.ru (1)

Это частный случай СЛУ, в которой число уравнений m равно числу неизвестных n. Заметим, что только при выполнении этого условия применим матричный метод.

По правилу умножения матриц систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

А×Х = С, (2)

где А - заданная матрица (основная матрица системы);

С - заданный вектор-столбец свободных коэффициентов;

Х - неизвестный вектор-столбец.

Решением матричного уравнения (2) является такой вектор-столбец Х, который обращает уравнение (2) в тождество.

Воспользуемся обратной матрицей для решения матричного уравнения (2), а следовательно, и системы линейных уравнений (1).

Умножим уравнение (2) слева на А -1, получим:

А -1×А ×Х = А -1×С Þ

Е ×Х = А -1×С Þ

Х = А -1×С. (3)

Таким образом, (3) - решение уравнения (2), так как, подставив (3) в (2), получим верное тождество:

А ×(А -1× С) = С Þ

А ×А -1× С = С Þ

Е ×С = С Þ С = С.

Поскольку обратную матрицу можно найти только при условии, что det A = D ¹ 0, то и сам матричный способ решения системы линейных уравнений можно применять при выполнении этого условия.

Пример.Решите систему уравнений матричным способом:

способом - student2.ru

Решение. 1) Введём обозначения:

А = способом - student2.ru ; С = способом - student2.ru .

2) Вычислим det A = D = 10.

3) Найдём обратную матрицу А-1.

Для этого сначала вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А11 = способом - student2.ru = - 11; А12 = - способом - student2.ru =13; А13 = способом - student2.ru = 2;

А21 = - способом - student2.ru = 5; А22 = способом - student2.ru = - 5; А23 = - способом - student2.ru = 0;

А31 = способом - student2.ru = 16; А32 = - способом - student2.ru = - 8; А33 = способом - student2.ru = - 2.

Запишем новую матрицу, составленную из алгебраических дополнений:

способом - student2.ru = способом - student2.ru .

Транспонируем матрицу способом - student2.ru :

способом - student2.ru Т= способом - student2.ru .

Получим обратную матрицу А-1:

А-1= способом - student2.ru Т способом - student2.ru способом - student2.ru способом - student2.ru способом - student2.ru .

4) Найдём решение системы уравнений в виде вектор-столбца:

Х = А -1×С = способом - student2.ru × способом - student2.ru = способом - student2.ru .

Таким образом, решением заданной системы уравнений являются следующие значения:

x = 0.8; у = - 0.4; z = 0.4.

Наши рекомендации