Теплообмен излучением между телами, одно из которых находится внутри другого

Параллельные пластины

Закон Стефана-Больцмана позволяет определить плотность собственного излучения Е₁, которое возникает в поверхностном слое тела и полностью определяется его температурой и физическими свойствами. Если тело участвует в теплообмене излучением с другими телами, то на рассматриваемое тело падает извне энергия излучения в количестве Е_пад. Часть падающей энергии излучения в количестве А· Е_пад телом поглощается и превращается в его внутреннюю энергию. Остальная часть энергии, полученная в количестве R·Е_пад отражается от тела. Сумма собственного и отраженного излучений, испускаемых поверхностью данного тела, называется эффективным (фактическим) излучением:

Е_эф = Е_соб + R·Е_пад = Е_соб + (1 – А)· Е_пад. (6.27)

Эффективное излучение зависит не только от физических свойств и температуры данного тела, но и от физических свойств, температуры и спектра излучения других окружающих тел. Кроме того, оно зависит от формы, размеров и относительного расположения тел в пространстве. Вследствие этого физические свойства эффективного и собственного излучений неодинаковы и спектры их излучения различны.

Для черного тела Е_эф = Е_соб, т.к. для него Е_отр =0.

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя серыми параллельными пластинами, разделенными лучепрозрачной средой. Размеры пластин значительно больше расстояния между ними, поэтому излучение одной из них будет полностью попадать на другую.

Поверхности пластин подчиняются закону Ламберта.

Обозначим: температуры пластин Т₁ и Т₂; коэффициенты поглощения А₁ и А₂; собственные излучения пластин, определяемые по закону Стефана-Больцмана Е₁ и Е₂, эффективные излучения пластин Е_1эф и Е_2эф; коэффициенты излучения С₁ и С₂. Полагаем, что Т₁ > Т₂.

Эффективное излучение первой пластины, состоящее из собственного излучения Е₁ и отраженного излучения второй пластины (1 – А₁)·Е_2эф, определится уравнением:

Е_1эф = Е₁ + (1 – А₁)·Е_2эф (6.28)

Аналогично определяется эффективное (суммарное) излучение второй пластины:

Е_2эф = Е₂ + (1 – А₂)·Е_1эф (6.29)

Решая эти уравнения относительно Е_1эф и Е_2эф, получаем:

(6.30)

(6.31)

Тепловое излучение, получаемое второй пластиной, имеющей меньшую температуру:

q = Е_1эф – Е_2эф (6.32)

Подставляя в уравнение (11.32) значения Е_1эф и Е_2эф, используя закон Стефана-Больцмана и произведя соответствующие преобразования, получим:

, (6.33)

где F – площадь пластины, м²;

С_пр – приведенный коэффициент излучения.

, (6.34)

Приведенный коэффициент излучения может быть вычислен, как произведение приведенной степени черноты системы ε_пр на коэффициент излучения АЧТ: С_пр = ε_пр · С_S.

. (6.35)

Теплообмен излучением между телами, одно из которых находится внутри другого

В технике часто приходится решать задачи теплообмена излучением, когда одно тело, находится внутри другого. Принимается, что поверхность внутреннего тела выпуклая, а внутренняя поверхность внешнего тела вогнутая.

Рисунок 6.5 Теплообмен излучением между телами, одно из которых находится внутри другого

Обозначим величины внутреннего тела Т₁, А₁, С₁, ε₁, F₁, Е₁, а внешнего соответственно Т₂, А₂, С₂, ε₂, F₂, Е₂.

В отличие от теплообмена между параллельными пластинами в данном случае на внутреннее тело падает лишь часть φ от эффективного излучения внешнего тела. Остальная часть энергии излучения (1- φ) падает на поверхность внешнего тела.

Эффективное излучение внутреннего тела состоит из собственного излучения и отраженного, полученного от внешнего тела:

Е_1эф = Е₁·F₁ + (1-А₁)·φ· Е_2эф. (6.36)

Эффективное излучение внешнего тела состоит из собственного излучения, отраженного от внутреннего тела, и отраженного собственного излучения:

Е_2эф = Е₂·F₂ + (1-А₂)· Е_1эф + (1-А₂)·(1-φ)· Е_2эф (6.37)

Величина теплообмена излучением между телами равна:

Q = Е_1эф – Е_2эф (6.38)

Можно доказать, что φ = F₁/ F₂, если рассмотреть предельный случай, когда Т₁ = Т₂.

Решая совместно уравнения (6.36) и (6.37) и подставляя полученные значения Е_1эф и Е_2эф в уравнение (6.38), получаем:

. (6.39)

Обозначив в уравнении (11.39) , получим:

. (6.40)

Если вместо С_пр в расчетах использовать приведенную степень черноты системы тел, то уравнение теплообмена примет следующий вид:

. (6.41)

Если поверхность F₁ мала по сравнению с поверхностью F₂, то отношение F₁/F₂ приближается к нулю и С_пр = С₁, а уравнение теплообмена примет вид:

. (6.42)