Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(х), b(х) - б.м.ф. при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru . Хотя Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , все же характер приближения к 0 у них может быть различен.

Две б.б.ф. сравниваются по быстроте стремления к нулю через поведение их отношения Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , где Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru в окрестности а:

если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru =0 , то Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru есть б.м.ф. более высокого порядка;

если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru = Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , то a(х), b(х) - одного порядка малости;

если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru =1, то a(х)~b(х) эквивалентные б.м.ф. при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ;

если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru =¥, то b(х) есть б.м.ф. более высокого порядка;

если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru не существует, то a(х), b(х) не сравнимы.

Бесконечно малые функции a(x), b(x) называются эквивалентными при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru (пишут a(x)~b(x)), если Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru =1.

Эквивалентными при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru являются функции:

Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~ Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~ Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~ax, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x, Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru ~x.

При Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru соотношения остаются в силе и при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru (при этом следует заменить х на a(х)): lnx=ln(1+(x–1)~(x-1) при x®1.

Теорема 1 (о замене функций эквивалентными при вычислении пределов). Если при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru имеем две эквивалентные б.м.ф. a~a1, b~b1 и существует Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , то также существует предел отношения Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru . (1)

Теорема 2 (признак эквивалентности б.м.ф). две б.м.ф. эквивалентны a(х)~b(x) при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru , тогда и только тогда, когда разность a(х)-b(х) при Сравнение бесконечно малых функций - student2.ru является б.м.ф. более высокого порядка, чем a(х) и b(х).

Наши рекомендации