Связи вход-состояние и вход-выход

Рассмотрим многомерную линейную систему, описываемую уравнениями состояния и выхода:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызывае­мый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от каждого из воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояния линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений: Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Аналогичное соотношение справедливо и для вектора выхо­да: Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru в силу связи (1.37).

Свободное движение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru происходит при отсутствии внешнего воздействия Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru вследствие ненулевых начальных условий (1.36). Оно опреде­ляется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния (1.35):

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (1.43)

с начальными условиями Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует, т.е. Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Вынужденное движение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — это реакция системы на внешнее воздействие Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения (1.35) при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями (1.35) — (1.37), законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формулам

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.44)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.45)

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ruпереходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (1.46)

начальным условием

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . (1.47)

Первые слагаемые в (1.44), (1.45) описывают свободное движение, а вторые вынужденное.

Формулы (1.43) — (1.46) следуют из общего алгоритма решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [40], включающего три этапа.

Первый этап. Решается однородная система дифференциальных уравнений

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

соответствующая исходной неоднородной системе

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Ее общее решение записывается в форме

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru вектор произвольных постоянных, Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — фундаментальная матрица, Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru линейно независимые решения однородной системы. Каждый столбец Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (фундаментальной матрицы удовлетворяет одно­родной системе, т.е. справедливы равенства Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru или Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Второй этап. Ищется общее решение неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где вектор-функция Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru подлежит определению. Подставляя Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru в неоднородную систему, получаем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

С учетом Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru или Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Обратная матрица Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru существует, поскольку Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru как определитель Вронского. Интегрируя последнее соотношение, находим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — вектор произвольных постоянных. В результате искомое общее решение имеет вид

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Третий этап. Ищется частное решение неоднородной системы, удовлетворяющее начальным условиям Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru :

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Обозначая Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , получаем формулу (1.44). При Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru получаем начальное условие (1.47). Умножая уравнение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru справа на матрицу Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , имеем Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , т.е. уравнение (1.46).

З а м е ч а н и е. Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.48)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.49)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.50)

законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.51)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.52)

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . В данном случае решение уравнения (1.46) имеет вид

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Анализ выходных процессов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть известны:

а) входной сигнал Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (см. разд. 1.2.1);

б) система, описываемая уравнениями состояния и выхода

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ;

в) вектор начальных состояний Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (см. разд. 1.2.1).

Требуется найти законы изменения вектора состояния Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и вектора выхода Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

З а м е ч а н и е. Если система образована соединениями подсистем, то она заменяется эквивалентной системой так, как показано в разд. 1.2.2.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных да­лее).

2. Используя соотношения (1.44), (1.45) или (1.51), (1.52) в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.

Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.

Первый способ. Если фундоменальная матрица Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной сис­темы дифференциальных ураннений (1.43), известна, то переходная матрица находится по формуле

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.53)

З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы (1.43) можно за­писать в виде

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.54)

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — произвольные постоянные

Для стационарных систем следует выполнить действия:

1. Найти корни характеристического уравнения

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.55)

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — единичная матрица.

2. Выписать выражение общего решения (1.54) для каждой компоненты вектора х, следуя известным правилам в зависимости от типа корней (см. разд. 1.1.4). При этом произвольные постоянные в выражениях различны.

3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаях достаточно подставить в первые Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru уравнений системы, что облегчает решение задачи.

4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и ре­шить полученную систему уравнений.

5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме (1.54). В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (1.53) — переходная.

Пример 1.21. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

□ Составим матрицу системы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Используем приведенный выше

алгоритм.

1. Корни характеристического уравнения Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru действительные разные: Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

4. Приравняв коэффициенты при Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , получим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , или Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

5. Из пп. 2, 4 имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

и по формуле (1.53)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Пример 1.22. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

□ Составим матрицу системы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Используем приведенный выше алгоритм.

1. Корень характеристического уравнения Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru действительный кратный: Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют вид

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

4. Приравняв коэффициенты при Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , получим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

5. Из пп. 2, 4 имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда находится фундаментальная матрица

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

и по формуле (1.53)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

В случае нестационарных систем для определения фундаментальной матри­цы можно воспользоваться следующим приемом, позволяющим уменьшить порядок системы, если известно ее решение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru при Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Тогда вектор-функции Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , образующие вместе с функцией Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru фундаментальную систему решений для (1.43), можно найти по формулам

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.56)

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

а функции Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru являются линейно независимыми решениями системы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru порядка

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . (1.57)

Пример 1.23. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

□ Для определения переходной матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru нужно найти два линей­но независимых решения заданной системы. Первое решение будем искать с помощью рядов, представляя функции Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru в виде

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Подставив эти функции в систему, предварительно умножив первое урав­нение на Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , а второе — на Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , получаем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Данной системе уравнений удовлетворяют коэффициенты:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ;

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Таким образом, вектор-функция Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru является решением системы.

Обозначим это решение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Так как Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru при всех Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , можно понизить порядок системы. Согласно (1.56) второе решение Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ищется в виде

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , а Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru - решение системы (1.57), которая в данном случае состоит из одного уравнения Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru :

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Подставляя Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , получаем уравнение

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

решение которого находится с помощью разделения переменных, т.е. Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . В результате Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Тогда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и, следовательно, Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

По найденным решениям Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru составляем фундаментальную матрицу

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru и Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

По формуле (1.53) имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Второй способ. Применение теоремы разложения Сильвестра [60]. Пере­ходная матрица стационарной системы определяется по формуле

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , (1.58)

Где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru - собственные значения матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (здесь предполагается, что они раз­личны), a Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru - единичная матрица.

Пример 1.24. Найти законы изменения векторов состояния и выхода мно­гомерной системы:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

с начальными условиями Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , при входном сигнале

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Получим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . По формуле (1.58) имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состоя­ния и выхода:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Пример 1.25. Найти законы изменения векторов состояния и выхода мно­гомерной системы:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

с начальными условиями Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru при входном сигнале

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Получим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . По формуле (1.58) имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

так как Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

3. Mo формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состоя­ния и выхода:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Третий способ. Использование теоремы Кели-Гамильтона [60].

Рассмотрим два случая ее применения.

1. В случае различных собственных значений матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru :

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (1.59)

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — число строк матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ; Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ruСвязи вход-состояние и вход-выход - student2.ru — я степень матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ; коэффици­енты Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru многочлена Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru находятся из системы уравнений

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . (1.60)

2. В случае кратных собственных значений матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru формула (1.59) также справедлива. Корню Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru кратности Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru в системе Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru уравнений (1.60) соответствуют соотношения

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . (1.61)

Пример 1.26. Найти переходную матрицу системы, если матрица Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru в уравнении состояния имеет вид Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (см. пример 1.24).

□ Собственные значения матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru : Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru различны, Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Поэтому составим систему уравнений (1.60):

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . По формуле (1.59) имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Результат совпадает с полученным ранее.■

Пример 1.27. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

с начальными условиями Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru при входном сигнале

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

□ Перепишем уравнения системы в матричной форме:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные шачения матрицы Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . Получим

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru (корень действительный кратный). По формуле (1.61) имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru т.е. Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru , Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru . По формуле (1.59) получаем

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторои состоя ния и выхода:

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru ,

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru

Связи вход-состояние и вход-выход - student2.ru .

Наши рекомендации