Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Пусть дан знакопеременный ряд

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru . (4)

Рассмотрим знакоположительный ряд, состоящий из модулей членов ряда (4):

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru (5)

Ряд (4) сходится, если сходится ряд (5). В этом случае ряд (4) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд

u1 – u2 + …+ (–1)n+1 un + … = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru (6)

(un > 0, n = 1, 2, …),

в котором положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема (признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд (6) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

2. Общий член ряда стремится к нулю, т. е. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

При этом остаток Rn = S – Sn не превосходит по модулю первого отбрасываемого члена Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru т. е. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Степенные ряды

Будем рассматривать ряды, членами которых являются степенные функции:

a0 +a1 x + a2 x2 + … + an xn + … = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru . (7)

Такие ряды называются степенными, а числа ai (i = 0, 1, 2, …) — коэффициентами этого степенного ряда.

Множество тех значений х, при которых степенной ряд (7) сходится, называется областью сходимости этого степенного ряда.

Число R называется радиусом сходимости ряда (7), если при всех х, удовлетворяющих неравенству Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru , ряд (7) сходится, а при всех x, удовлетворяющих неравенству Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru , — расходится.

Радиус сходимости R определяется по формуле

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости ряда (7).

При x = R, x = –R ряд (7) может как сходиться, так и расходиться. Вопрос о сходимости ряда (7) в этих точках решается путем дополнительных исследований.

Ряд Маклорена

Ряд Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru называется рядом Маклорена для функции f(x).

Приведем следующие известные разложения функций в ряд Маклорена:

1. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru область сходимости Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

2. sinx = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru область сходимости Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru область сходимости Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

4. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru область сходимости (–1;1).

5. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru область сходимости (–1;1].

6. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + …, область сходимости
[–1;1].

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом, членами ряда? Приведите примеры.

2. Что вы понимаете под суммой ряда? Какой ряд называется сходящимся?

3. Сформулируйте признак расходимости ряда в термине предела общего члена.

4. Дайте определение обобщенного гармонического ряда. При каких р он сходится?

5. Сформулируйте первый и второй признаки сравнения. В чем их общность и отличие?

6. Сформулируйте достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Как вычислить сумму членов знакочередующегося ряда с указанной степенью точности?

7. Что называется степенным рядом? Что вы понимаете под точкой сходимости этого ряда?

8. Что называется радиусом сходимости степенного ряда и как его определить?

9. Чем отличается область сходимости от интервала сходимости степенного ряда?

10. Какие основные свойства степенных рядов вы знаете?

11. Что вы понимаете под рядом Маклорена? Как разложить функции в этот ряд?

12. Какие разложения элементарных функций в ряд Маклорена вы знаете?

Типовая задача 4

Написать степенной ряд по заданному общему члену

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Найти область сходимости этого ряда.

Решение. При n = 0 получаем свободный член a0 = 1 данного ряда, при n = 1 — член Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru , при n = 2 — член Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru и т. д.

Получаем следующий ряд:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru … .

Находим радиус сходимости данного ряда. Имеем:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Следовательно, (–7; 7) — интервал сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т. е. при x = –7,
x = 7.

Пусть x = –7. Тогда степенной ряд принимает вид

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru 1 + 1 + …+ 1 + … .

Так как Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru , то ряд расходится (достаточное условие расходимости числового ряда).

Пусть x = 7. Получаем следующий знакочередующийся ряд:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Этот ряд расходится, так как не существует предела последовательности 1,0,1,0… частичных сумм этого ряда.

Таким образом, (–7; 7) — область сходимости данного степенного ряда.

Ответ: (–7; 7).

Типовая задача 5

Вычислить определенный интеграл Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся разложением функции ex:

ex = 1 + x + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + … + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + … .

Заменив x на Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru , получим:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru = 1 – Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru – … + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru … .

Умножая обе части последнего равенства на x, будем иметь:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru = x – Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru …+ Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru +… .

Итак, Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru dx = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru =
= Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ruЗнакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru
– … + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru … = Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ruЗнакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru – … + Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru … .

Получаем знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница имеем:

1. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

Значит, ряд сходится. По этому признаку первый отбрасываемый член по модулю меньше un+1. Если un+1 взять по модулю меньшим, чем 0,001, то из Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru un+1 < 0,001 следует, что остаток Rn меньше 0,001. Имеем:

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru .

Значит, Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru — первый отбрасываемый член.

Таким образом, с точностью до 0,001

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды - student2.ru

Ответ: 0,393.

4. Задания 6 и 7
по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Наши рекомендации