Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества - student2.ru (4)

Основные тригонометрические тождества - student2.ru (5)

Основные тригонометрические тождества - student2.ru (6)

Основные тригонометрические тождества - student2.ru . (7)

По значению одной из тригонометрических функций некоторого угла можно, используя приведенные выше формулы, найти значения всех остальных. Применение этих формул значительно упрощает процесс тригонометрических преобразований. При этом необходимо помнить, что при извлечении квадратного корня получаем выражение с модулем, например Основные тригонометрические тождества - student2.ru . Раскрывая модуль, знак выбираем в зависимости от того, в какой четверти лежит угол Основные тригонометрические тождества - student2.ru .

Пример 1. 1) Выразить в радианной мере угол, равный 150º.

2) Выразить в градусной мере угол в Основные тригонометрические тождества - student2.ru радиан.

Решение. 1) Используя формулу (2), получим:

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Используя формулу (3), получим

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Пример 2.Вычислить tg a, если sin a = –0,8 и Основные тригонометрические тождества - student2.ru .

Решение.Сначала найдем cos a. Из формулы (4) получим

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Так как в третьей четверти cos a < 0, то cos a = –0,6. Находим

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Пример 3.Вычислить Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Решение.Используя нечетность и Основные тригонометрические тождества - student2.ru периодичность функции Основные тригонометрические тождества - student2.ru , получаем:

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

По формулам приведения находим:

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Таким образом, Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Пример 4.Определить знак выражения

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Решение. Вначале используем нечетность функций, а затем их знаковые характеристики (рис.6):

Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Значит это угол III четверти, в которой синус принимает отрицательное значение (рис. 6). Тогда Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Угол Основные тригонометрические тождества - student2.ru – это угол II четверти, в которой косинус отрицательный.

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Основные тригонометрические тождества - student2.ru – это угол II четверти, тогда Основные тригонометрические тождества - student2.ru .

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Угол Основные тригонометрические тождества - student2.ru лежит в III четверти, тогда Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Учитывая знаки всех множителей, получаем

Основные тригонометрические тождества - student2.ru ,

т.е. заданное выражение положительно.

Пример 5. Сравнить два числа Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Решение. Заметим, что углы Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru – это углы I четверти, в которой синус и косинус принимают положительные значения.

Основные тригонометрические тождества - student2.ru (в силу ограниченности функции косинус), тогда

Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Пример 6. Указать наибольшее и наименьшее значение выражения Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Решение.Выражение будет наибольшим, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru будет наибольшим.

Известно, что Основные тригонометрические тождества - student2.ru но тогда Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Тогда наибольшее значение выражения будет, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru т.е. равно 2. А наименьшее, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru т.е. равно Основные тригонометрические тождества - student2.ru .

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Выразите в радианной мере углы:

1) 100º; 2) 244,38º; 3) 720º; 4) 135º; 5) 27,13º.

1.2. Выразите в градусной мере углы:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 4) 0,64; 5) 3,627.

1.3. Найдите:

1) sin a, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) cos a, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) tg a, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) сtg a, если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

1.4. Вычислите:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

6) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

7) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

8) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

9) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

10) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

1.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru 3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

1.6. Выберете среди чисел наименьшее:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru

1.7. Докажите тождества:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

1.8. Упростите выражение используя формулы (4) – (7) и формулы приведения.

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

6) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

II уровень

2.1. Найдите:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2.2. Определите знак произведения:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2.3. Вычислите:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

6) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

7) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

8) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

9) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

10) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

11) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2.4. Докажите тождества:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2.5. Упростите выражение:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

6) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

7) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

8) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2.6. Сравните два числа Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

III уровень

3.1. Докажите тождества:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3.2. Вычислите:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3.3. Упростите выражение:

1) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

2) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

4) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

5) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

6) Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3.4. Найдите значение выражения Основные тригонометрические тождества - student2.ru если Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3.5. Сравните Основные тригонометрические тождества - student2.ru и Основные тригонометрические тождества - student2.ru

3.6. Найдите наибольшее значение выражения Основные тригонометрические тождества - student2.ru

Наши рекомендации