Произведение матрицы ХТ на вектор-столбец W рассчиты-
вается следующим образом:
.
Итак, мы рассчитали произведение матриц ХТ ⋅ Х и век-
тор-столбец (ХТ ⋅ W). Однако в зависимости
нет матрицы (ХТ ⋅ Х), а фигурирует ее обратная матрица, т. е.
(XT ⋅ X)-1, которую необходимо найти.
Алгоритм вычисления обратной матрицы
Определяем, квадратная ли исходная матрица. Если
Она квадратная, то переходим к п. 3.2.2, если нет, то обратной
Матрицы не существует, так как она является вырожденной.
Вычисляем определитель исходной матрицы. Если
Определитель равен 0, то обратной матрицы не существует;
Если он не равен 0, то переходим к п. 3.2.3.
Вместо каждого элемента исходной матрицы подстав-
Ляем его алгебраическое дополнение.
Полученную матрицу транспонируем.
Элементы полученной матрицы делятся на определи-
тель Δ (п. 3.2.2). Получаем обратную матрицу.
Проверяем работу алгоритма на практике:
Матрица
Квадратная, следовательно, обратная матрица существует.
3.2.2. Вычисляем ее определитель:
Δ = = 0,07 ⋅ (+1) ⋅ + 2,03 ⋅ (-1) ×
× + 6,08 ⋅ (+1) ⋅ = 365,37.
Определитель матрицы не равен 0, следовательно, можно
Вычислить обратную матрицу.
Каждый элемент исходной матрицы заменяем его ал-
Гебраическим дополнением.
Получаем присоединенную матрицу
Полученную матрицу транспонируем; но, так как она
Симметричная относительно ее главной диагонали, то она запи-
Шется как исходная
Каждый элемент полученной матрицы делим на оп-
Ределитель, который мы рассчитали ранее. Получаем обрат-
ную матрицу:
Подставив полученные значения в зависимость
Получаем коэффициенты или параметры модели
76,1 ⋅ 0,126 + 0,129 ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ (-0,04) = 4,74;
76,1 ⋅ 0,13 + 0,266 ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ 0,09 = 0,34;
76,1 ⋅ (-0,04) + (-0,09) ⋅ (-36,782) + 2,541 ⋅ 0,195 = 0,76.
Рассчитанное уравнение будет иметь вид:
Искомая аналитическая зависимость связывает срок оку-
Паемости с объемом инвестиций и внутренней нормой доход-
Ности. Далее необходимо сравнить по вкладу в значения срока
Окупаемости рассматриваемых факторов. Для этого фактору
x3 присвоим значение 0,38 (центр эксперимента), а фактору x2
значение: -0,12 и рассчитаем значение W и ΔW.
x3 = 0 ; x2 = -1.
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ 0 = 4,4.
x3 = 0 ; x2 = 1.
= 4,74 + 0,34 ⋅ 1 + 0,76 ⋅ 0 = 5,08.
ΔW = 5,08 − 4,4 = 0,68.
Приращение результирующего фактора (срок окупаемос-
Ти) составит 0,68.
Приращение произошло за счет x2 — объема инвестиций.
x2 = 0; x3 = -1.
= 4,74 + 0,34 ⋅ 0 + 0,76 ⋅ (-1) = 3,98.
x2 = 0; x3 = 1.
= 4,74 + 0,34 ⋅ 0 + 0,76 ⋅ 1 = 5,5.
ΔW = 5,5 − 3,98 = 1,52.
Приращение произошло за счет x3 — внутренней нормы
Доходности.
Из полученных значений приращений, связанных с от-
Дельными факторами, можно сделать вывод о том, что на зна-
Чение срока окупаемости инвестиций наиболее существенное
Влияние оказывает такой фактор, как внутренняя норма до-
Ходности.
Адекватна ли исходная информация?
Проверка адекватности рассчитанной модели
Проверим адекватность модели с использованием коэф-
Фициента множественной корреляции.
Составим таблицу,
Где W — исходные данные из каталога проектов (срок окупае-
Мости);
— данные, рассчитанные с использованием модели про-
Екта (оценка срока окупаемости).
= 4,74 + 0,34x2 + 0,76x3;
= 4,74 + 0,34 ⋅ 1 + 0,76 ⋅ 0,49 = 5,45;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,61) + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,1;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,61) + 0,76 ⋅ 1 = 5,29;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,73) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,48;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ (-0,53) = 4;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,47) + 0,76 ⋅ (-0,62) = 4,1;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,66) + 0,76 ⋅ 0,49 = 4,89;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,97) + 0,76 ⋅ (-0,36) = 4,14;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,74) + 0,76 ⋅ (-0,28) = 4,28;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,52) + 0,76 ⋅ (-0,28) = 4,35;
= 4,74 + 0,34 ⋅ 0,57 + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,5;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,49) + 0,76 ⋅ 0,74 = 5,14;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,25) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,64;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,45) + 0,76 ⋅ (-1) = 3,8;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-0,85) + 0,76 ⋅ (-1) = 3,7;
= 4,74 + 0,34 ⋅ (-1) + 0,76 ⋅ (-0,02) = 4,4.
Сопоставительный анализ срока окупаемости и его оценки
От объема инвестиций и внутренней нормы доходности пред-
ставлен в табл. 10.17.
Если бы модель идеально отражала данные из каталога
Проектов, то эту ситуацию была бы представить в виде графи-
ка. (рис. 10.4).
На практике модель искажает реальные данные. Реаль-
Ные значения результирующего фактора образуют некоторое
Облако точек относительно биссектрисы угла графика зависи-
Мости реальных и модельных данных. В качестве показателя,
характеризующего несоответствие “модельного” и реального
Результатов, для отдельного результата используют расстоя-
Ние от биссектрисы до соответствующей точки.
Несоответствие реальных и “модельных” данных по всему
Массиву оценивают с помощью коэффициента множественной
Корреляции
Где — среднее квадратическое отклоне-
Ние от оценки срока окупаемости;
Таблица 10.17
Таблица оценок срока окупаемости проектов
№ проекта W x2 x3
1 5 1 0,49 5,45
2 4,2 -0,61 0,74 5,1
3 6 -0,61 1 5,29
4 9,2 -0,73 -0,02 4,48
5 6 -1 -0,53 4
6 9,6 -0,47 -0,62 4,1
7 2,7 -0,66 0,49 4,89
8 4,8 -0,97 -0,36 4,14
9 2,5 -0,74 -0,28 4,28
10 3,3 -0,52 -0,28 4,35
11 7,8 0,57 0,74 5,5
12 3,6 -0,49 0,74 5,14
13 2,4 -0,25 -0,02 4,64
14 2,4 -0,45 -1 3,8
15 3,6 -0,85 -1 3,7
16 3 -1 -0,02 4,4
— среднее квадратическое отклоне-
Ние от математического ожидания срока окупаемости;
— математическое ожидание срока окупаемости.
Рассматриваем необходимые значения для определения
адекватности модели:
σ2
Δ = ⋅ (0,2 + 0,8 + 0,5 + 22,3 + 4 + 30,3 + 4,8 + 0,44 +
+ 3,17 + 1,1 + 5,29 + 2,37 + 5,02 + 1,96) = = 5,62.
σ2
w = ⋅ (0,06 + 0,3 + 1,54 + 19,7 + 1,54 + 23,4 + 4,2 +
+ 0,002 + 5,1 + 2,13 + 9,24 + 1,35 + 5,57 + 5,57 + 1,35 +
+ 3,1) = =5,61.
W
0 2 4 6 8 10
Рис. 10.4. Зависимость реальных и модельных данных срока
Окупаемости инвестиций