Распределение микросостояний по фазовому пространству

Система изолирована и энергия сохраняется

.

Фазовый ансамбль находится в фазовом пространстве на гиперповерхности постоянной энергии, все ее точки равноправны. Вне гиперповерхности микросостояния отсутствуют. Следовательно, вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства около точки X, или функция микроканонического распределения является дельта-функцией

. (2.7)

Плотность вероятности реализации микросостояний одинакова во всех точках гиперповерхности. Условие нормировки (2.4)

,

где , дает нормировочную постоянную

. (2.8)

Функцию выразим через энергетическую плотность состояний.

Энергетическая плотность состояний

Набор возможных значений энергии системы называется энергетическим спектром. Газ в ограниченном объеме имеет дискретный спектр, зависящий от величины объема и от соотношения между энергией и импульсом частицы. На рисунке показан пример энергетического спектра. При макроскопическом объеме газа расстояние между уровнями мало и спектр квазинепрерывный. Для характеристики спектра используем энергетическую плотность уровней – число уровней в единичном интервале энергии. В классической физике уровень энергии соответствует микросостоянию, тогда – энергетическая плотность микросостояний. Выразим энергетическую плотность через распределение микросостояний по фазовому пространству.

Микросостояния с энергией находятся в фазовом пространстве на замкнутой гиперповерхности. Число микросостояний внутри гиперповерхности равно безразмерному объему фазового пространства

. (2.9)

При увеличении энергии на гиперповерхность сдвигается, объем фазового пространства внутри нее возрастает, число микросостояний увеличивается на

. (2.10)

В результате энергетическая плотность состояний системы равна увеличению фазового объемапри возрастании энергии на единицу

. (2.11)

Приведенные соотношения применимы также к одной частице идеального газа. Значок Δ, использованный в (2.9) – (2.11), может далее упускаться для упрощения записей.