Классическое определение вероятности

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 1105, 1106, 1302, 2202. Указания выделяют основные понятия темы, определяют последовательность изучения материала. Большое количество рассмотренных примеров помогает в практическом освоении темы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Испытанием (опытом)называют каждое осуществление некоторой совокупности условий. Событие – результат испытания.

Пример 1.1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в мишень – событие.

Пример 1.2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны – это испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

События можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Пример 1.3. При бросании игрального кубика выпадение хотя бы одного очка - достоверное событие.

Пример 1.4. Наступление ночи по прошествии дня – достоверное событие.

Невозможным называют событие, которое не может произойти в данном испытании.

Пример 1.5. Выпадение семи очков при подбрасывании одного игрального кубика – событие невозможное.

Пример 1.6. Выпадение цифры 5 при бросании десятикопеечной монеты – невозможное событие.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате испытания.

Пример 1.7. Выпадение одного очка при подбрасывании игрального кубика – событие случайное.

Пример 1.8. Выпадение герба при подбрасывании монеты – событие случайное.

Случайные события обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …

Пример 1.9. А – появление герба при испытании, заключающемся в подбрасывании монеты; В – попадание в мишень при выстреле; С – на сборку поступила нестандартная деталь.

Случайные события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1.10. Брошена монета. Появление герба исключает появление цифры. События «появился герб» и «появилась цифра» - несовместные.

Пример 1.11. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.

Случайные события называют совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

Пример 1.12. Брошен игральный кубик. События «выпадение четного числа очков» и «выпадение шести очков» являются совместными.

Пример 1.13. В аудиторию вошел человек. События - «в аудиторию вошел человек старше 30 лет» и «в аудиторию вошел мужчина» - совместные, поскольку в аудиторию может войти мужчина старше 30 лет.

Случайные события называют единственно возможными, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием.

Пример 1.14. Стрелок стреляет по мишени. Обязательно произойдет одно из двух событий: попадание или промах. Эти события единственно возможные.

Случайные события называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример 1.15. Появление герба и цифры при бросании монеты есть события несовместные, единственно возможные и равновозможные. Предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Полной группой называют совокупность единственно возможных и несовместных событий данного испытания. Это означает, что в результате испытания может произойти только одно из этих событий.

Пример 1.16. Бросается игральный кубик. События, заключающиеся в том, что на верхней грани кубика появится 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков, образуют полную группу.

Пример 1.17. События «выпадение герба» и «выпадение цифры» при подбрасывании одной монеты образуют полную группу.

Вероятность события – мера объективной возможности появления события в данном испытании. Существуют несколько определений вероятности события (классическое, статистическое, геометрическое и др.).

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

СОБЫТИЯ

Классическое определение вероятности основано на так называемой классической схеме испытания. Классическая схема испытания – это идеализированная схема испытания, когда испытание проводится теоретически (мысленно) и можно выделить полную группу несовместных, единственно возможных и равновозможных событий А₁, А₂… А_n. Эти события называют элементарными событиями или элементарными исходами испытания.

Вероятность события А равна отношению числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов испытания:

классическое определение вероятности - student2.ru

Свойства вероятности события:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример 2.1.В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 зеленых. Извлекается один шар. Найти вероятности следующих событий: а) появился красный шар (событие А); б) появился черный шар (событие В); в) появился цветной шар (событие С).

Решение. Испытание – извлечение шаров. Элементарный исход испытания - появление шара. Число всех таких исходов равно числу шаров в урне n=30. Эти исходы несовместны, единственно возможны (обязательно появится один шар) и равновозможны (считается, что шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

а) Событие А состоит в том, что из урны извлечен красный шар. Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно числу красных шаров в урне m=10. Тогда вероятность появления красного шара:

классическое определение вероятности - student2.ru

б) Событие В состоит в том, что из урны извлечен черный шар. Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно числу черных шаров в урне m=0. Тогда вероятность появления черного шара:

классическое определение вероятности - student2.ru

Событие В – невозможное.

с) Событие С состоит в том, что из урны извлечен цветной шар. Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно числу всех шаров в урне m=30. Тогда вероятность появления шара:

классическое определение вероятности - student2.ru

Событие С – достоверное.

Пример 2.2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра только одна). Искомая вероятность: классическое определение вероятности - student2.ru

ЗАДАЧИ

1. В урне содержится 5 белых, 10 красных и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность появления: а) белого шара; б) красного шара; в) цветного шара; г) синего шара?

2. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

3. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет: а) шесть очков; б) выпало четное число очков; в) выпало или одно или два очка; с) выпадет хотя бы одно очко.

4. В ящике содержится 10 шаров с номерами от 1 до 10. Извлекли один шар. Найти вероятность того, что: а) номер шара меньше пяти; б) больше восьми; в) номер шара не больше 10.

5. Для сдачи крови в поликлинику пришли 12 доноров, из которых 5 доноров имеют первую группу крови, 3 – вторую группу крови, остальные – третью. Какова вероятность того, что первый сдавший кровь донор имеет третью группу крови?

6. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают один белый шар и откладывают в сторону. После этого берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже белый.

7. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная кость из полной игры домино имеет: а) сумму очков, равную нулю, одному, двум, трем; б) сумму очков более 12?

8. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 у.е., на четыре билета – 50 у.е., на десять билетов – 20 у.е., на двадцать билетов – 10 у.е., на 165 – 5 у.е., на 400 – 1 у.е., остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть не менее 10 у.е.?

9. Структура служащих банка состоит из администраторов и операционистов. Среди администраторов – 25 женщин и 15 мужчин, среди операционистов – 35 женщин и 25 мужчин. Случайно отобран один человек. Найти вероятность, что выбран: а) мужчина-администратор; б) женщина-операционист; в) мужчина; г) операционист.

10. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой один главный приз (телевизор), пять призов – видеомагнитофон, 100 призов – часы, 1000 призов – видеокассеты. Лотерейные билеты получили 10 000 покупателей. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет главный приз; б) выиграет видеомагнитофон; в) выиграет какой-либо приз; г) ничего не выиграет.

11. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

12. Какова вероятность, что число на вырванном наудачу листе нового календаря: а) соответствует 29 числу месяца; б) менее восьми; в) кратно пяти (если в году 365 дней)?

13. При игре в лото наудачу извлекается одна фишка. На фишках написаны числа от 1 до 90. Какова вероятность того, что на вынутой фишке написано: а) число, кратное 10; б) натуральное число; в) простое число*?

14. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем перемешиваются. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) три; б) две; в) одну. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный кубик не будет иметь окрашенных граней?

15. Монета подброшена два раза подряд. Найти вероятность, что: а) один раз выпадет герб; б) оба раза выпадет герб; в) хотя бы один раз выпадет герб.

16. В одном ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, во втором – шары с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика извлекли по одному шару. Какова вероятность, что сумма номеров вынутых шаров равна: а) 10; б) 11; в) меньше 10; г) больше 15?

17. При перевозке ящика, в котором содержались 21 окрашенная и 10 неокрашенных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. После перевозки из ящика наудачу извлекли одну деталь, которая оказалась окрашенной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) окрашенная деталь; б) неокрашенная деталь.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие существуют виды событий?

2. Какие события называются несовместными, совместными, равновозможными, единственно возможными?

3. Что называется полной группой событий ?

4. Охарактеризуйте классическую схему испытания.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Сформулируйте свойства вероятности события.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001. 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001. 400 с.

3. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991. 157 с.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука, 1988. 480 с.