Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. Произведение бесконечно малой функции при и функции , ограниченной в некоторой -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что

(4)

для всех x, удовлетворяющих условию

(5)

Поскольку функция является бесконечно малой при , то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число , что неравенство

(6)

выполняется для всех x, удовлетворяющих условию

(7)

Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие

(8)

является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).
Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство

для всех x из δ-окрестности точки a.

Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; и – бесконечно малые функции при . Тогда существуют такие положительные числа и , что условия

(9)

и

(10)

влекут за собой соответствующие неравенства и

Если , то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

6.) Бесконечно большие функции: определение, свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке e-d).

Функцию f(x) называют бесконечно большой при x->x₀ (в точке x₀ )если "М>0, $ d такое, что если х€U*(x_0, d), то |f(x)|>M.

Замечание: условие |f(x)|>M означает, что f(x)€U(∞;1/M)=> записывают : =∞; f(x)-> ∞ , при x->x₀

Геометрическая интерпретация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2(на языке последовательностей)

Функция f(x) –б.б. при x->x_{0 ,} если для любой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к х₀, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)}стремится к∞

Определения 1 и 2 эквивалентны

Свойства:

1) Если f(x) –б.б. при x->x₀ , то функция – бесконечно малая при x->x_0.

Если f(x) – б.м. при x->x₀ , то функция – бесконечно большая при x->x₀ (связь бесконечно малой и бесконечно большой функции.)

2) Если f(x) и g(x) б.б. одного знака, то и сумма f(x)+g(x) тоже б.б. того же знака при x->x_0.

3) Если f(x) – б.б. при x->x_{0 ,} g(x) ограничена в некоторой окрестности U*(x₀ , d), то и сумма f(x)+g(x) тоже б.б. того же знака при x->x_0.

4) Если f(x) и g(x) б.б. одного знака, то и произведение f(x)*g(x) тоже б.б. того же знака при x->x_0.

5) Если f(x) – б.б при x->x₀ ,а g(x) имеет предел при x->x₀ , причем =a≠0, то их произведение f(x)*g(x)- б.б при x->x₀

6) Если f(x) – б.б при x->x₀ , "x€U*( x₀ , d) имеет место неравенство |f(x)|≤|g(x)| , то функция g(x)- б.б. при х->х₀

7) Пусть f(x) иg(x)-б.б. одного знака при x->x₀ и $ d такое, что f(x)≤£(x)≤g(x), "x€U*( x₀ , d), тогда функции £(x)- б.б. того же знака при x->x₀ (лемма о 2х милиционерах)

7.) Односторонние пределы. Теорема о существовании .

Число AÎℝ называется пределом функцииf(x)при x, стремящемся к x0 слева (в точке x0 слева), если "e>0 $d>0 такое, что если x удовлетворяет условию

0 < x0 – x < d, то f(x)ÎU(A, e) .

2) Число BÎℝ называется пределом функцииf(x) при x, стремящемся к x0 справа, если "e>0 $d>0 такое, что если x удовлетворяет условию

0 < x – x0 < d, то f(x)ÎU(B, e).

3) Говорят, что предел функцииf(x) в точке x₀ слева равен +¥(–¥) (функция стремится к +¥(–¥) при x, стремя-щемся к x₀ слева), если "M>0 $d>0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x₀ – x < d, то f(x) > M ( f(x) < –M).

4) Говорят, что предел функцииf(x) в точке x₀ справа равен +¥(–¥), если "M>0 $d>0 такое, что, если x удовлетворяет условию 0 < x – x₀ < d, то f(x) > M ( f(x) < –M).

ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x ® x₀ и x₀Îℝ).

Функция f(x) имеет предел (конечный) при x ® x₀Û существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x ® x₀ . При этом

1) необходимость

Пусть для lim f(x)=A (x->x0), тогда такое , что f(x)

Тогда по определению ={x , Следаовательно f(x) удволетворяет неравенство => lim f(x)=A (x-> ) lim f(x)=A (x-> )

2 Достаточность

lim f(x)(x-> ) = lim f(x) (x-> ) =A

Тогда f(x) , f(x)

Тогда если одно неравенство по модулю то есть

значит lim f(x)=A (x-> ) учитывая что f(x)

8.)Замечательные пределы и их следствия