Каналдың өткізгіштік қабілеті және Шеннон шегі

Үздіксіз каналдар үшін өткізгіштік қабілетті дискретті каналдарға ұқсас анықтауға болады. Барлық мүмкін ықтималдықты бөліп тарату тығыздығының функциялары бойынша тасымалданатын ақпараттың ең үлкен мәнін іздейміз.

Нақты жоғарғы шекті іздеу, жалпы жағдайда, өте күрделі мәселе. Ең маңызды жеке жағдайды қарап шығайық – шектелген тілкемді аддативті ақ гаусстық шулы (ААГШ) канал арқылы ақпарат тасымалдау. Мұндай каналдың үлгісі 8.4 суретте көрсетілген. Канал кірісіндегі сигнал амплитудасының ықтималдығын гаусстық тәсілмен бөліп тарату үшін ақпарат теориясындағы мағлұм каналдың өткізгіштік қабілетінің формуласын аламыз.

8.4 Сурет. Тілкемде шектелген ААГШ-лы каналдың үлгісі.

Теорема 8.2.1. Каналдың өткізгіштік қабілеті (Хартлей - Шеннон).

Өткізгіш тілкемінің ені B және қуаттылығы аддитивті ақ гаусстық шулы идеал каналдың өткізгіштік қабілеті тең болады

Мұнда, алдыңғыдағыдай, S – каналдың өткізгіш тілкеміндегі сигнал қуаттылығы. Мөлшерлілік C – бит/сек.

Үздіксіз C каналының өткізгіштік қабілетін интерпретациялау үшін, өткізгіш тілкемінің ені 1 Гц болатын (8.11) өрнекті қарап шығамыз. (8.5 суретте жартылай логарифмдік масштабта орындалған) функциясының тәртібінің сызықтық қасиетін асимптотикалық түрде атап өтсек болады.

8.5 Сурет. Сигнал/шу қатынас функциясы ретіндегі өткізгіштік

тілкемтің 1 Гц-қа өткізгіштік қабілеті.

Сигнал/шу (Signal to Noise Ratio : SNR) қатынасы 0 дБ-дан жоғары берілген болсын. (8.11) формула бойынша, өткізгіштік қабілетті екі еселендіру сигнал/шу SNR қатынасының квадраттық жоғарлауын, яғни тоқтаусыз шуда тасымалдағыш қуаттылығының квадратын қажет етеді.

8.6 Сурет.Өткізгіштік тілкем ені, SNR, тасымалдау уақыты және тасымалданған ақпараттың максималды көлемі арасындағы қатынас.

Сигнал/шу қатынасы берілген болсын, B өткізгіш тілкемі және t тасымалдау уақыты берілген болсын. Сонда каналдың өткізгіштік қабілетін және берілген уақыт аралығында тасымалданған ақпараттың максималды көлемін анықтауға болады. Тағы назар салатын нәрсе, ақпараттың мән берілген v бит көлемінде, үш параметрдің (SNR, B, t) екеуін ерікті түрде түрлендіруге болады, ал үшінші параметр (8.11) қатынасынан және v = C ∙ t шартынан анықталатын болады. Бұл айтылғанның баршасы 8.6 суретте көрсетілген.

8.6 суретте белгілі бір уақыт арасында тасымалданатын ақпаратты SNR, B және t координаттарындағы параллелепипед көлемі ретінде елестетуге болады.

(8.11) қатынасты ықыласпен қарап шықсақ, маңызды сұрақ туындайды: өткізгіш тілкемінің ені шексіздікке ұмтылса каналдың өткізгіштік қасиеті қалай өзгеретін болады? Жауабы айқын емес, себебі тілкемнің кеңеюуі N шу қуаттылығының жоғарылауына себепші болады. Шу қуаты тоқтаусыз спектральді тығыздықта өткізгіш тілкемінің еніне пропорционал болады. Тілкем қаншалықты кең болса, қабылдағыш шығысындағы шу соншалықты көп болады (8.7 сурет).

8.7 Сурет. Шектелген тілкемдегі ақ гаусстық шудың спектрі.

Шекті өткелді зерттейік

Ескерту.Біз шекті есептеуді жеңілдету үшін натурал логарифмді қолдандық. Өткізгіштік қабілеттің нат/сек өлшемділігінен бит/сек өлшемділігіне өту (8.19) өрнегінің оң жағын -ге көбейту арқылы жүзеге асады.

(8.12)-ні (8.13)-ші шектік өткелге қойып, анықталмағандықты аламыз

Анықталмағандықты Лапиталь қағидасы арқылы әшкерелеп, шектің ақтық мәнін аламыз

(8.15) өрнегі (8.13)-пен бірлесе Шеннон шекарасын анықтайды.

ААГШ-лы үздіксіз каналдың өткізгіштік қабілеті және өткізгіштің шексіз тілкемі тең болады

Байланыс техникасында цифрлы ақпарат тасымалдау кезінде жиі теріс шама қолданылады – тасымалданған бит ақпаратқа тура келетін сигнал энергиясы. Ақпараттық бит/сек тасымалдаудың максималды жылдамдығы келесі түрде анықталады

бір бит тасымалдаудың минималды ұзақтығы тең

Ақпарат битін тасымалдауға сарп етілетін энергия туындысы арқылы анықталады. (8.18) және (8.16) қолданып, келесі бекітуге өтеміз.

Цифрлы ақпараттың бір битін тасымалдау үшін, ең азы энергияның битке қатынасы ақ гаусстық шу қуаттылығының спектральді тығыздығына теңесуі қажет

Ескерту.Әдебиетте шудың спектральді тығыздығы емес, ретінде анықталатынына назар салайық. Бұл оң (8.19) бөлікте 1,42 дБ-ге тең қосымша қиыстырудың пайда болуына әкеледі.

SNR, B және биттік R жылдамдық арасындағы байланысты диаграмма түрінде көрсетуге болады. Мұның үшін, ең әуелі, (8.11)-де C орнына R және N орнына қоямыз, қатысты теңсіздікке рұқсат береміз және алатынымыз

Сол бөліктің өткізгіштік тілкемнен тәуелділігін (8.20)-ның екі бөлігін де B/R-ге көбейту арқылы жоямыз

Бір бит ақпаратты тасымалдауға сарп етілетін энергиясы қатынасымен анықталады. және арасындағы тәуелділік 8.8 суретте көрсетілген

8.8 Сурет. Ақпарат тасымалдау уақытындағы өткізшіш тілкем

ені мен SNR арасындағы тәуелділік.

8.8 суретті шынайы байланыс системаларында таңдалған кодтау әдісінің нәтижелілігін бағалауға мүмкіндік беретін стандарт ретінде қарап шығуға болады. Ақпарат тасымалдау жазып алынған R, B және SNR мәндерінің тұсында жүзеге ассын. Бұл мәндерге 8.8 суреттегі диаграмманың кейбір бір нүктесі сәйкес келеді. Канал үшін кодтау теоремасына сәйкес R жылдамдық C каналдың өткізгіштік қабілетінен асып кетпеу керек, сол себепті біздің нүкте (8.21)-мен берілетін қисық нүктеден жоғары жатады. R = C мәніне сәйкес келетін, шектік сызықтан бері қарай жататын ара-қашықтық біз таңдаған кодтау әдісінің потенциалды жақсару мүмкіндігін бағалауға мүмкіндік береді.

Ескерту.Заманауи цифрлы байланыс системалары турбо-кодтар секілді прогрессивті кодтау әдістерін қолданады. Мұндай құрылымдарды қолдану декодтаудың кейбір тоқтауларына алып келетін шекті қисық бағаға жақындауға мүмкіндік береді. Баға - нәтижелілік қатынасын бағалауда көптеген қосымша факторлар ескеріледі, сондықтан система оптималдығы, яғни жылдамдықтың каналдың өткізгіштік қабілетіне жақындауы деген мағнада, кейде екінші орынға өтеді.

Мысалдар

Мысал: Видеотелефония.

ISDN стандартты телефон желілерінің абоненттері арасындағы сурет алмасу мүмкіндігін қарап шығайық. Бұл системада екі өлшемді суреттерді тасымалдау үшін 64 кбит/сек жылдамдықты канал қолданылады, сондықтан видеомағлұмат ағыны осы шамаға дейін қысылғаны қажет. Сонымен қатар, қысу алгоритмі ақпарат теориясы тұрғысынан алғанда бір жағынан шығынды, екінші жағынан абонент үшін беймағлұм немесе көп мәрте қайталанатын сурет детальдарын жоюы қажет. Мұндай детальдардың бірі болып, мысалы, ұзақ уақыт өзгермейтін екінші жоспарлы сурет және т.б. болып табылады. Алдағыда, біз видеосигналды жоғары дәреже қысу мысалын қарап шығамыз.

Қажетті ақпарат тасымалдау жылдамдығын есептеу кезінде, QCIF (Quarter Common Intermediate Format) стандартынан бастайтын боламыз.

Бұл стандартта түрлі-түсті суреттерді тасымалдау үшін бір жарықтық сигналы және екі түсті сигналдары қолданылады. Бұл сигналдардың параметрлері 8.2 кестеде келтірілген.

8.2 Кесте. Сурет тасымалдау үшін сигналдар мысалы.

8.2 кесте бойынша, экранда түсті бейненің көрсетілуі әрқайсысын көз бір нүкте ретінде қабылдайтын төрт нүктелі матрица көмегімен жүзеге асады. Матрица ішінде екі нүкте бір түсті сигналға тиесілі, ал екеуі – басқаға. Әр нүктенің жарықтығы деңгейге квантталатын Y сигналы арқылы анықталады.

Кадр алмасу 10 Гц жиілікпен жүзеге асады деп есептейік. Камераның жылдам қимылдауы және дерліктей баяу кадр алмасу кезінде экранда бейненің жуылуы басталады.

1. Кадр алмасу жиілігі 10 Гц-ке тең болғандағы видеоканалдағы ақпараттық ағынды табыңыз. Келесі жеңілдетілген үлгіден бастаймыз: квантталған видеосигналдар уақытта және кеңістікте бірқалыпты бөліп таралу ықтималдығына ие және өзара тәуелсіз.

2. Егер қанағаттандыратын бейне сапасына қажетті сигнал/шу қатынасы 30 дБ құрайтын болса, идеал телевизион қабылдағышының өткізгіш тілкемінің минималды енін табыңыз.

Шешуі.

1. 8.2 кесте бойынша, кадр тасымалдау үшін қажетті символдар саны, тең болады

Кадр алмасу жиілігі 10 Гц-ке тең болғандықтан, символ тасымалдау жылдамдығы тең болады

Y, U, V сигналдарының амплитудаларының мүмкін квантталған мән ықтималдықтары бірқалыпты бөлінгенін ескерсек, әрбір символ ақпараты тең болады

Осылайша, ізделініп отырған ақпараттық ағын құрайды

Ескерту.Ақпарат символы символдар ықтималдықтарыны бірқалыпты бөлінген жағдайда символдың екілік жазба ұзындығына тең болатынына назар салайық. Сандық видеосигнал тасымалдаудың шынайы каналдарында бір символдың ақпараты 8 биттен әжептәуір аз. (8.25)-ті ақпарат 64 кбит/сек жылдамдықпен тасымалданатын ISDN-B каналымен салыстыру бұл каналдағы қысу факторы шамамен 50-ге тең болуы қажет.

2. 3.04128 Мбит/сек ақпараттық ағынды тасымалдау үшін үлкен өткізгіштік қабілетті канал қолданылуы қажет. (8.11) шеннондық каналдан алатынымыз

Мысал:Кодты-импульсті модуляция.

Жоғарғы спектральді жиілігі 4 кГц болатын ұқсас сигнал сигналды қайта қалпына келтіру үшін минималды қажеттілікттен 1,25 мәрте асатын есептеу жиілікті уақытта дисркетизацияға ұшырайды. Әрбір есептеу 8 битті символдармен 256 деңгейге квантталады. Символдар тәуелсіз және бірқалыпты ықтималдық бөлінуіне ие деген болжам келтіріледі.

1. Цифрленген дереккөздің ақпараттық ағынын табыңыз.

2. Бұл ақпараттық ағын ААГШ каналы бойынша B = 10 кГц тілкеммен және SNR – 20 дБ менен аз қате ықтималдығымен тасымалдана алады ма?

3. B = 10 кГц тілкемде аз қате ықтималдығымен ақпараттық ағынды тасымалдау үшін минималды SNR қандай болуы қажет?

4. SNR – 20 дБ менен ААГШ каналы бойынша аз қате ықтималдығымен ақпарат тасымалын қамтамасыз ететін B өткізгіш тілкемнің минималды мәні қандай болуы қажет?

Шешуі.

1. Есептеулер жиілігі тең

Символдар тасымалдау жылдамдығы тең болады

Бір символ ақпараты –

Ақпараттық ағын –

2. Каналдың өткізгіштік қабілеті тең болады

осылайша, C < I. Қатесіз тасымал мүмкін емес.

3. Минималды қажетті сигнал/шу қатынасы (8.11)-ден анықталады

және тең болады

4. Өткізгіш тілкемінің минималды қажетті мәні (8.11)-ден бастап есептеледі

Осылайша аламыз

Мысал: Телефонды канал.

Стандартты аналогты телефонды канал 300 Гц-тен 3,4 кГц-ке дейін өткізгіш тілкемге ие. Телефонды желі түйіні шығыста берліген сигнал/шу қатынасты қамтамасыз етеді деп болжамдайық.

Әрбір абонент жұп проводтардың коммутаторымен байланысқан. 4 кГц-ке дейінгі тілкемде сигналдың басылуы шамамен 2 дБ/км құрайды.

Каналдың өткізгіштік қабілетінің графигін абонеттің байланыс түйінінен аластатылу функциясы ретінде құрыңыз.

Шешімі.

(8.11) өткізгіштік қабілет үшін өрнекке l арақашықтық функциясы ретінде сигнал/шу қатынасын қояйық. Өткізгіш тілкемнің кеңдігін 4 гЦ деп есептейік, сонда

Өткізгіштік қабілеттің арақашықтықтан тәуелдік графиктері 8.9 суретте келтірілген

8.9 Сурет. Өткізгіштік қабілеттің қосылу алыстығына тәуелділігі.

С өткізгіштік қабілеттің l функция ретіндегі мәні, сигнал/шу 60 дБ қатынасына сәйкес, 80 кбит/сек-тен 26 кбит/сек-қа дейінгі 0 < l < 20 км өсуіне дерліктей сызықты түседі. Тәріздес жолмен бастапқы аз сигнал/шу қатынасына сәйкес келетін қисықтар әрекет етеді, бірақ, SNR азаюымен, сызықтық қасиеті жоғалады.

Ескерту.Статистика бойынша 99,5 % орталық желі түйініне қосылған абоненттер, одан 8 км-ге дейінгі арақашықтықта болған. Байланыс каналдардың өткізгіштік қасиеті мысалда келтірілгеннен әлдейқайда жоғары. Бұл жұп телеонды проводтардың өткізгіш тілкемінің кеңдігі 4 кГц-тен әлдеқайда жоғары болуымен түсіндіріледі.

Заманауи байланыс желілерінің проводтары (xDSL) арқылы ақпарат тасымалдау әдістері дерек тасымалдау жылдамдығын бірнеше Мбит/сек-қа дейін жеткізуге мүмкіндік береді. Мысалы, ADSL стандартында, ақпарат тасымалдау 64 кбит/сек-тан жоғары жылдамдықта жүзеге асады және 26-дан 138 кГц-ке дейінгі тілкем жиіліктері қолданылады. Абоненттердің желіге 6 Мбит/сек жылдамдықпен қосылуы кезіндегі тілкем жиілігі 26 . . . 1104 кГц құрайды.

Мысал: Телеграфия.

Телеграфияда хабарлама тасымалдау үшін екі символ қолданылады – нүкте және сызықша. Бөлек символдар пауқалармен бөлінген. Сызықшаның ұзындығы 1 сек., ал нүкте және пауза ұзындығы 1/3 сек. құрайды деп есептейік.

Телеграфтық дереккөздің орташа ақпараттық ағынын табыңыз.

Шешуі.

3.1 кесте бойынша, нүктелер және сызықшалар кездесу жиілігінің қатынасы, шамамен 2 /1 –ге тең (мәтіндегі алфавит әріптерінің ықтималдықтарын ескергенде). Демек, нүкте немесе сызықшаның пайда болу ықтималдығы келесі қатынаспен байланысты

Демек,

Екілік телеграфтық дереккөздің энтропиясы

Бір символдың орташа ұзындығы, келесі паузаны қосқанда, құрайды

Осылайша, орташа ақпараттық ағын тең болады