Iнтерполяцiйна формула Лагранжа

Інтерполяційні методи наближення функцій однієї та двох змінних.

Метою вивчення цього роздiлу є ознайомлення з основними найбiльш вживаними методами iнтерполяцiї функцiй однiєї та двох змiнних.

Постановка задачi iнтерполяцiї функцiй однiєї змiнної

В обчислювальнiй практицi часто доводиться мати справу з функцiями Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , заданими таблицями їх значень для деякої скiнченної множини значень аргумента Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru : Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru . В процесi ж розв'язування задачi необхiднi промiжнi значення функцiї, яких немає в таблицi. В цьому випадку будують функцiю Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , досить просту для обчислень, яка в заданих точках Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru приймає тi ж значення, що i функцiя Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , а в iнших точках розглядуваного iнтервалу iз областi визначення функцiї дає наближення функцiї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru з певною точнiстю, i при розв'язуваннi задачi замiсть функцiї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru оперують з функцiєю Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru .

Задача побудови такої функцiї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru ,яка задовольняє умови Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru називається задачею iнтерполяцiї (вiд inter --- мiж i pol --- полюс, точка). Функцiя Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru називається iнтерпольованою функцiєю, а Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru iнтерполюючою функцiєю або iнтерполянтом.

Точки Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru називаються вузлами iнтерполяцiї.

Геометрично задача iнтерполяцiї полягає в побудовi кривої Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru певного типу, яка проходить через задану систему точок Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru .

Частiше всього iнтерполюючу функцiю Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru шукають у виглядi алгебраїчного многочлена.

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа

Нехай функцiя Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru задана таблицею значень Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru . Треба побудувати многочлен Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru степеня не вище Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , який приймає в вузлах iнтерполяцiї тi ж значення, що i Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , тобто многочлен, для якого виконуються рiвностi Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru , Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru .

Розв'язком цiєї задачi є iнтерполяцiйний полiном Лагранжа:

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (1)

Iнтерполяцiйна формула в цьому випадку має вигляд:

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (2)

i називається iнтерполяцiйною формулою Лагранжа.

В точках Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru значення многочлена Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru i функцiї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru збігаються. При iнших значеннях Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru рiзниця Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru в загальному випадку вiдмiнна вiд нуля i є iстинною похибкою методу.

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru називається залишковим членом iнтерполяцiї.

Якщо функцiя Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru в промiжку Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru має неперервнi похiднi до Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru -го порядку, то залишковий член можна подати в виглядi

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (3)

де

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (4)

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru --- залежить вiд Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru i лежить усерединi вiдрiзка Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru .

Позначивши через

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (5)

одержимо таку оцiнку для абсолютної похибки iнтерполяцiйної формули Лагранжа:

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru (6)

Приклад 2.1. Знайти наближене значення функцiї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru в точцi Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru за даними таблицi 2.1 за допомогою iнтерполяцiйної формули Лагранжа.

Табл. 2.1
Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru
Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru -0,6 -0,1 0,4
Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru 2,18 2,38 2,55

Розв'язування.Iнтерполяцiйна формула Лагранжа має вигляд

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Порiвняємо знайдене наближене значення Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru з точним, знаючи, що таблицею задана функцiя Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru . Точне значення Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru дорiвнює

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Отже, абсолютна похибка наближення дорiвнює

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Таким чином, знайдено наближене значення функціїї Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru з похибкою Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru

Iнтерполяцiя сплайнами

На практицi ми можемо впливати вибором вузлiв на величину Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru i не можемо впливати на властивостi функцiї, якi пов'язанi з її похiдними. Якщо з ростом Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru величина Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru зростає дуже швидко, то зростання степеня iнтерполяцiйного полiнома може привести до погiршення наближення функцiї. Iз ростом степеня при обчисленнях полiнома вiдбувається також швидке накопичування похибок округлення. Наприклад, при обчисленнях полiнома 100-го степеня в точцi Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru старшi члени будуть машинними нулями. Тому на практицi полiноми вище 5-го степеня, як правило, не використовуються. Розбиття заданого вiдрiзка Iнтерполяцiйна формула Лагранжа - student2.ru на кiлька частин разом iз побудовою на будь-якiй частинi свого iнтерполяцiйного многочлена незручне тим, що на стиках буде терпiти розрив перша похiдна двох сусiднiх iнтерполяцiйних полiномiв. Тому на практицi, щоб досить добре наблизити функцiю, замiсть iнтерполяцiйних полiномiв високих степенiв використовують iнтерполяцiйнi сплайни невисоких степенiв.

Слово "сплайн" походить вiд англiйського spline (рейка, стержень) --- назва пристосування, яке креслярi використовували для проведення гладких кривих через заданi точки. На практицi широко вживаються сплайни третього степеня, якi мають неперервну першу або першу і другу похiдну.

Наши рекомендации